PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 do IME 2026

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Progressão geométrica

Seja D = \{x \mid x \in (-1,0) \cup (0, 1)\}, a \in \mathbb{R}^* e f : D \to \mathbb{R}, tal que f(x) = \sum_{k=1}^\infty ax^{k-1}. Então, para m \in D, \frac{f(m) + f(-m)}{f(m)f(-m)} é igual a:

  1. A
    \frac{1}{a}
  2. B
    \frac{2}{am^2}
  3. C
    \frac{a}{2}
  4. D
    \frac{2}{a}
  5. E
    2am^2
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Resolução comentada

A soma f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} a x^{k-1}=a+ax+ax^2+\dots é uma PG infinita de primeiro termo a e razão x. Como |x|<1 (pois x\in D), ela converge e vale:

f(x)=\frac{a}{1-x}

Como m\in D, também -m\in D, então:

  1. f(m)=\dfrac{a}{1-m}
  2. f(-m)=\dfrac{a}{1+m}

A expressão pedida pode ser reescrita dividindo cada termo do numerador pelo denominador:

\frac{f(m)+f(-m)}{f(m)f(-m)}=\frac{1}{f(-m)}+\frac{1}{f(m)}

Calculando os inversos:

\frac{1}{f(m)}=\frac{1-m}{a},\qquad \frac{1}{f(-m)}=\frac{1+m}{a}

Somando:

\frac{1-m}{a}+\frac{1+m}{a}=\frac{2}{a}

O resultado não depende de m.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aesquece que são dois termos iguais a 1/a após somar; o m some mas o resultado é 2/a, não 1/a.
  • Bintroduz um m^2 que não aparece, pois (1-m)+(1+m)=2 sem restos em m.
  • Cinverte a fração, obtendo a/2 em vez de 2/a.
  • Emultiplica em vez de somar os inversos e inventa fator m^2.

Assunto: Progressão geométrica.

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Fonte: IME 2026 · Prova objetiva. Prova oficial ↗