Questão 15 do IME 2026

Question

ABCDEF é um octaedro regular de aresta a, tal que suas diagonais são \overline{AE}, \overline{BF} e \overline{CD}. M é o ponto sobre a aresta \overline{AF} tal que \overline{FM} = a/3, N é o ponto sobre a aresta \overline{AD} tal que \overline{DN} = a/3 e P é o ponto sobre a aresta \overline{DB} tal que \overline{DP} = a/3. O ângulo M\hat{N}P é:

A
\frac{\pi}{4}
B
\frac{\pi}{3}
C
\frac{\pi}{2}
D
\frac{2\pi}{3}
E
\frac{3\pi}{4}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 do IME 2026

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Geometria espacial de posição

ABCDEF é um octaedro regular de aresta a, tal que suas diagonais são \overline{AE}, \overline{BF} e \overline{CD}. M é o ponto sobre a aresta \overline{AF} tal que \overline{FM} = a/3, N é o ponto sobre a aresta \overline{AD} tal que \overline{DN} = a/3 e P é o ponto sobre a aresta \overline{DB} tal que \overline{DP} = a/3. O ângulo M\hat{N}P é:

A
\frac{\pi}{4}
B
\frac{\pi}{3}
C
\frac{\pi}{2}
D
\frac{2\pi}{3}
E
\frac{3\pi}{4}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Coloque o octaedro regular em coordenadas: os vértices são os pontos \pm k sobre os eixos, e a aresta é a=k\sqrt2. As diagonais AE, BF e CD ficam sobre os eixos:

A=(k,0,0), E=(-k,0,0), B=(0,k,0), F=(0,-k,0), C=(0,0,k), D=(0,0,-k).

Cada ponto está a a/3 de um vértice, ou seja, a 1/3 da aresta a partir dele:

M=F+\tfrac13(A-F)=\left(\tfrac k3,-\tfrac{2k}3,0\right)
N=D+\tfrac13(A-D)=\left(\tfrac k3,0,-\tfrac{2k}3\right)
P=D+\tfrac13(B-D)=\left(0,\tfrac k3,-\tfrac{2k}3\right)

O ângulo em N é formado pelos vetores:

\vec{NM}=\left(0,-\tfrac{2k}3,\tfrac{2k}3\right) e \vec{NP}=\left(-\tfrac k3,\tfrac k3,0\right).

Produto escalar: \vec{NM}\cdot\vec{NP}=-\tfrac{2k^2}{9}.

Módulos: |\vec{NM}|=\tfrac{2k\sqrt2}{3} e |\vec{NP}|=\tfrac{k\sqrt2}{3}, cujo produto é \tfrac{4k^2}{9}.

\cos\theta=\frac{-2k^2/9}{4k^2/9}=-\frac12\Rightarrow\theta=\frac{2\pi}{3}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

A\pi/4 não corresponde a \cos\theta=-1/2; seria o ângulo se o cosseno fosse \sqrt2/2.
B\pi/3 tem cosseno +1/2; ignora o sinal negativo do produto escalar.
C\pi/2 exigiria produto escalar nulo, mas ele vale -2k^2/9.
E3\pi/4 exigiria \cos\theta=-\sqrt2/2, mas o cosseno calculado é -1/2.

Assuntos: Geometria espacial de posição, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 15 no caderno Prova objetiva do IME 2026

Fonte: IME 2026 · Prova objetiva. Prova oficial ↗