Questão 14 do IME 2025

Cada círculo tangencia externamente dois vizinhos, então a distância entre centros vizinhos é r + r = 2r. Como os centros são os vértices de P, o lado de P mede \ell = 2r.

Em um polígono regular de n lados inscrito em um círculo de raio R, cada lado enxerga um ângulo central de \dfrac{360^\circ}{n}. O triângulo formado por dois vértices vizinhos e o centro é isósceles, com lados R, R e base \ell. Traçando a altura até a base, obtemos um triângulo retângulo com ângulo \dfrac{180^\circ}{n} e cateto oposto \dfrac{\ell}{2}. Logo:

Substituindo \ell = 2r e R = 2r:

1. \ell/2 = r
2. \sen\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)=\dfrac{r}{2r}=\dfrac{1}{2}
3. \dfrac{180^\circ}{n}=30^\circ, pois o ângulo é agudo.
4. n = 6

Conferindo: no hexágono regular o lado é igual ao raio circunscrito, ou seja, \ell = R = 2r, o que confirma o resultado.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• An=3 daria \sen 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, ou seja, R=\frac{2r}{\sqrt3}, não 2r.
• Bn=4 daria \sen 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}, ou seja, R=r\sqrt2.
• Cn=5 daria \sen 36^\circ\approx0{,}59, diferente de \frac12.
• En=8 daria \sen 22{,}5^\circ\approx0{,}38, diferente de \frac12.

Assuntos: Ângulos, polígonos e quadriláteros, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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