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Questão 25 do IME 2023

Prova objetiva · Física

Esquema de dois espelhos planos verticais voltados um para o outro, presos a blocos sobre uma superfície horizontal. Cada bloco está identificado por $m$ e ligado a uma parede lateral por uma mola identificada por $k$. Entre os espelhos há uma partícula em repouso sustentada no topo de uma haste vertical. Setas com os rótulos “espelho”, “bloco”, “haste” e “partícula em repouso” indicam os respectivos elementos.

A figura mostra um esquema com dois espelhos planos verticais presos a blocos que oscilam na mesma direção sobre uma superfície horizontal sem atrito. Observa-se também a presença de uma partícula em repouso.

Dados:

  • amplitude da oscilação de cada bloco: A;
  • massa de cada conjunto (bloco e espelho): m;
  • constante elástica de cada mola: k.

Observações:

  • cada espelho chega a encostar com velocidade nula na partícula em repouso, porém em instantes diferentes;
  • quando o espelho da esquerda encosta na partícula em repouso, o espelho da direita está voltando, com a mola se comprimindo, e à sua maior velocidade escalar.

A maior distância relativa entre as imagens da partícula nos espelhos e a maior velocidade escalar relativa entre elas são, respectivamente:

  1. A
    6A e \sqrt{2}A\sqrt{k/m}
  2. B
    6A e 4\sqrt{2}A\sqrt{k/m}
  3. C
    6A e 2\sqrt{2}A\sqrt{k/m}
  4. D
    2(2+\sqrt{2})A e \sqrt{2}A\sqrt{k/m}
  5. E
    2(2+\sqrt{2})A e 2\sqrt{2}A\sqrt{k/m}
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Resolução comentada

Coloque a partícula na origem. A posição de cada espelho é um MHS de amplitude A e \omega=\sqrt{k/m}. A imagem de um ponto num espelho plano fica a uma distância do espelho igual à da partícula, então a imagem está em 2x_{esp}, medida a partir da partícula.

Espelho da esquerda: encosta na partícula com velocidade nula, ou seja, no extremo direito da oscilação. Seu centro de oscilação está em -A e

x_E=-A+A\cos\omega t.

Espelho da direita: quando o da esquerda encosta (t=0), ele está na posição de equilíbrio, com velocidade máxima, afastando-se da partícula. Ele encosta na partícula no extremo esquerdo, então seu centro está em +A e

x_D=A+A\,\text{sen}\,\omega t.

Posições das imagens:

I_E=-2A+2A\cos\omega t,\qquad I_D=2A+2A\,\text{sen}\,\omega t.

  1. Distância entre as imagens:

    d=I_D-I_E=4A+2A(\text{sen}\,\omega t-\cos\omega t)=4A+2\sqrt2A\,\text{sen}(\omega t-45^\circ).

    O máximo é d_{máx}=4A+2\sqrt2A=2(2+\sqrt2)A.

  2. Velocidade relativa:

    \frac{dd}{dt}=2A\omega(\cos\omega t+\text{sen}\,\omega t),

    cujo valor máximo é 2\sqrt2A\omega=2\sqrt2A\sqrt{k/m}.

Portanto, a maior distância é 2(2+\sqrt2)A e a maior velocidade relativa é 2\sqrt2A\sqrt{k/m}.

Alternativa E.

Pegadinha: Somar as amplitudes máximas das imagens (8A) ou supor movimentos em fase ignora que os espelhos estão defasados em 90°; os máximos não ocorrem juntos.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A6A e a velocidade não correspondem ao cálculo; ignora a defasagem de 90° entre os espelhos e o fator 2 da imagem.
  • B6A não resulta de nenhuma combinação correta e 4\sqrt2A\sqrt{k/m} dobra a velocidade relativa máxima.
  • CA velocidade está certa, mas 6A está errado: a distância máxima é 4A+2\sqrt2A, pois os espelhos estão defasados.
  • DA distância está certa, mas a velocidade relativa máxima da imagem é 2\sqrt2A\sqrt{k/m}, não \sqrt2A\sqrt{k/m} (esquece o fator 2 da imagem).

Assuntos: espelhos planos, movimento harmônico simples, velocidade relativa.

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Fonte: IME 2023 · Prova objetiva. Prova oficial ↗