Questão 10 do IME 2022

Question

Considere as propriedades dos coeficientes binomiais. Qual das seguintes identidades está incorreta?

A
\displaystyle \binom{100}{0}^2 + \binom{100}{1}^2 + \cdots + \binom{100}{100}^2 = \binom{200}{100}^2
B
\displaystyle \binom{100}{39} + \binom{100}{40} = \binom{101}{40}
C
\displaystyle 2 \times 1 \times \binom{100}{2} + 3 \times 2 \times \binom{100}{3} + 4 \times 3 \times \binom{100}{4} + \cdots + 100 \times 99 \times \binom{100}{100} = 9900 \times 2^{98}
D
\displaystyle \binom{100}{1} + 2 \times \binom{100}{2} + 3 \times \binom{100}{3} + \cdots + 100 \times \binom{100}{100} = 100 \times 2^{99}
E
\displaystyle 1 - \binom{100}{1} + \binom{100}{2} - \binom{100}{3} + \cdots + \binom{100}{100} = 0

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 do IME 2022

Prova objetiva · Matemática

Considere as propriedades dos coeficientes binomiais. Qual das seguintes identidades está incorreta?

A
\displaystyle \binom{100}{0}^2 + \binom{100}{1}^2 + \cdots + \binom{100}{100}^2 = \binom{200}{100}^2
B
\displaystyle \binom{100}{39} + \binom{100}{40} = \binom{101}{40}
C
\displaystyle 2 \times 1 \times \binom{100}{2} + 3 \times 2 \times \binom{100}{3} + 4 \times 3 \times \binom{100}{4} + \cdots + 100 \times 99 \times \binom{100}{100} = 9900 \times 2^{98}
D
\displaystyle \binom{100}{1} + 2 \times \binom{100}{2} + 3 \times \binom{100}{3} + \cdots + 100 \times \binom{100}{100} = 100 \times 2^{99}
E
\displaystyle 1 - \binom{100}{1} + \binom{100}{2} - \binom{100}{3} + \cdots + \binom{100}{100} = 0

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Vamos testar cada identidade com as propriedades conhecidas dos coeficientes binomiais.

(A) Pela identidade de Vandermonde, \sum_k \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}. Com n=100, a soma vale \binom{200}{100}, e não \binom{200}{100}^2. A identidade está errada, pois o quadrado do lado direito é indevido.

(B) Relação de Stifel: \binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}. Com n=100 e k=40, obtemos \binom{101}{40}. Correta.

(C) Usamos k(k-1)\binom{n}{k}=n(n-1)\binom{n-2}{k-2}. A soma fica 100\cdot 99\sum_{k=2}^{100}\binom{98}{k-2}=9900\cdot 2^{98}. Correta.

(D) Usamos k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}. A soma fica 100\sum_{k=1}^{100}\binom{99}{k-1}=100\cdot 2^{99}. Correta.

(E) É o desenvolvimento de (1-1)^{100}=0. Correta.

Portanto, a única identidade incorreta é a (A).

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa A engana por parecer a identidade de Vandermonde, mas o quadrado extra em C(200,100) a torna falsa.

Por que as outras alternativas estão erradas

BÉ a relação de Stifel aplicada corretamente, então a identidade é verdadeira.
CCom k(k-1)C(100,k)=100·99·C(98,k-2), a soma dá 9900·2^98; é verdadeira.
DCom kC(100,k)=100·C(99,k-1), a soma dá 100·2^99; é verdadeira.
EÉ o binômio (1-1)^100 = 0; é verdadeira.

Assuntos: coeficientes binomiais, identidade de Vandermonde, binômio de Newton.

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Questão 10 no caderno Prova objetiva do IME 2022

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