Questão 11 do IME 2022

Pela definição, a primeira linha de A é toda de 1 (pois i=1). Nas linhas i\geq 2, o elemento é 1 fora da diagonal e 0 na diagonal.

Usamos o fato de que o determinante não muda quando subtraímos de uma linha outra linha da matriz.

1. Para cada i\geq 2, trocamos a linha L_i por L_i - L_1.
2. A linha L_1 é (1,1,\dots,1). A linha L_i tem 1 em todas as colunas, menos na coluna i, onde tem 0.
3. Então L_i - L_1 tem 0 nas colunas j\neq i e 0-1=-1 na coluna i. Ou seja, L_i - L_1 = -e_i.

A nova matriz tem a primeira linha (1,1,\dots,1) e, nas demais, apenas o -1 na diagonal. Todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, então ela é triangular superior. O determinante é o produto da diagonal:

São 2020 fatores iguais a -1 (linhas 2 a 2021), e 2020 é par.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem conta 2021 fatores -1 em vez de 2020, esquecendo que a primeira entrada da diagonal vale +1.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConfunde o determinante com a ordem da matriz, sem fazer a eliminação.
• BMesmo erro de usar a ordem 2021 como valor, ignorando a triangularização.
• CSupõe que as linhas são dependentes, mas após a eliminação a diagonal não tem zeros.
• EErra a paridade do expoente: usaria (-1)^{2021} em vez de (-1)^{2020}, pois a primeira linha contribui com +1.

Assuntos: determinante, matrizes, triangularização.

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