PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 do IME 2021

Prova objetiva · Matemática

Sejam z_1 e z_2 dois números complexos tais que |z_1| = 4, |z_2| = 3 e |z_1 + z_2| = 6. O valor de |z_1 - z_2| é:

  1. A
    \sqrt{7}
  2. B
    \frac{\sqrt{3}}{3}
  3. C
    1
  4. D
    \sqrt{14}
  5. E
    2\sqrt{3}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Use a identidade do paralelogramo para números complexos, que vem de desenvolver o módulo ao quadrado com |w|^2 = w\bar{w}:

|z_1+z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\,\text{Re}(z_1\bar{z}_2)
|z_1-z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2\,\text{Re}(z_1\bar{z}_2)

Somando as duas, o termo misto se cancela:

|z_1+z_2|^2 + |z_1-z_2|^2 = 2\left(|z_1|^2 + |z_2|^2\right)

Agora substitua os valores do enunciado:

  1. |z_1+z_2|^2 = 6^2 = 36
  2. |z_1|^2 + |z_2|^2 = 16 + 9 = 25, e o dobro é 50
  3. 36 + |z_1-z_2|^2 = 50
  4. |z_1-z_2|^2 = 14

Logo, |z_1-z_2| = \sqrt{14}.

Confirmando pelo termo misto: 36 = 25 + 2\,\text{Re}(z_1\bar{z}_2) dá 2\,\text{Re}(z_1\bar{z}_2) = 11, e então |z_1-z_2|^2 = 25 - 11 = 14. Também é possível, pois |11/2| = 5{,}5 \le 12 = |z_1||z_2|.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AChega a \sqrt{7} ao esquecer o fator 2 da identidade (usa 36+x=25... ou divide por 2 o resultado 14).
  • BNão corresponde a nenhum cálculo válido com os módulos dados.
  • CValor sem relação com a identidade; ignora que |z_1-z_2|^2=14.
  • E2\sqrt{3}=\sqrt{12} resulta de errar a conta 50-36.

Assuntos: números complexos, módulo de número complexo, identidade do paralelogramo.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 4 no caderno Prova objetiva do IME 2021

Fonte: IME 2021 · Prova objetiva. Prova oficial ↗