PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 do IME 2021

Prova objetiva · Matemática

Seja a função f(x) = 2x^4 - 8x^3 + 4x - 7. Considere uma reta qualquer que corta o gráfico dessa função em quatro pontos distintos: (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) e (x_4, y_4). O valor de \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{2} é:

  1. A
    1
  2. B
    3/2
  3. C
    2
  4. D
    7/2
  5. E
    4
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Uma reta qualquer tem equação y = mx + n. Os pontos de interseção com o gráfico de f satisfazem f(x) = mx + n, ou seja:

2x^4 - 8x^3 + (4 - m)x - (7 + n) = 0

Como a reta corta o gráfico em quatro pontos distintos, as abscissas x_1, x_2, x_3, x_4 são as quatro raízes desse polinômio de grau 4.

Pelas relações de Girard, para ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, a soma das raízes é -\frac{b}{a}.

  1. Coeficiente de x^4: a = 2.
  2. Coeficiente de x^3: b = -8. Os parâmetros m e n só alteram os coeficientes de x e do termo independente, então a e b não mudam.
  3. Soma das raízes: x_1+x_2+x_3+x_4 = -\frac{-8}{2} = 4.
  4. O valor pedido é \frac{4}{2} = 2.

A soma não depende da reta escolhida, por isso a pergunta faz sentido para "uma reta qualquer".

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana quem calcula a soma das raízes (4) e esquece de dividir por 2.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AParece vir de dividir a soma por 4 em vez de por 2, ou de usar a soma errada.
  • BNão corresponde a nenhuma aplicação correta das relações de Girard.
  • DValor sem relação com -b/a; vem de misturar coeficientes, como o 4 e o 7.
  • EÉ a soma das raízes, 4, esquecendo de dividir por 2 como pede o enunciado.

Assuntos: relações de Girard, interseção de reta com polinômio.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 3 no caderno Prova objetiva do IME 2021

Fonte: IME 2021 · Prova objetiva. Prova oficial ↗