PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 do IME 2021

Prova objetiva · Matemática

Considere que a \neq 0, b \neq 0 e (a + b) \neq 0. Sabendo-se que \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 3, determine o valor de \frac{a^2+b^2}{2(a+b)^2}.

  1. A
    0,1
  2. B
    0,3
  3. C
    0,6
  4. D
    0,8
  5. E
    1,0
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Resolução comentada

A ideia é reescrever a condição dada em termos de a^2+b^2 e ab, e depois usar o quadrado da soma.

  1. Some as frações da condição, com denominador comum ab:
\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=3 \Rightarrow a^2+b^2=3ab.
  1. Desenvolva o quadrado da soma, usando o resultado anterior:
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=3ab+2ab=5ab.
  1. Substitua na expressão pedida:
\frac{a^2+b^2}{2(a+b)^2}=\frac{3ab}{2\cdot 5ab}=\frac{3}{10}.

O fator ab pode ser cancelado porque a\neq0 e b\neq0. O denominador original também não se anula, pois a+b\neq0 (e de fato 5ab\neq0).

Portanto o valor é \frac{3}{10}=0{,}3.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErra a conta ao esquecer o fator 3 do numerador, obtendo 1/10 em vez de 3/10.
  • CEsquece o fator 2 do denominador, calculando 3/5 = 0,6.
  • DNão corresponde a nenhuma conta correta; vem de erro ao expandir (a+b)^2, por exemplo usando 4ab no lugar de 5ab e outros deslizes.
  • ESupõe a^2+b^2=2(a+b)^2, ignorando o termo 2ab e a condição dada.

Assuntos: produtos notáveis, manipulação algébrica.

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Fonte: IME 2021 · Prova objetiva. Prova oficial ↗