PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 do IME 2021

Prova objetiva · Matemática

No que diz respeito à posição relativa das circunferências representadas pelas equações

x^2 + y^2 - 6x - 8y = 11
x^2 + y^2 - 8x + 4y = -16

pode-se afirmar que elas são:

  1. A
    exteriores.
  2. B
    tangentes exteriores.
  3. C
    tangentes interiores.
  4. D
    concêntricas.
  5. E
    secantes.
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Resolução comentada

Para descobrir a posição relativa de duas circunferências, achamos centro e raio de cada uma (completando quadrados) e comparamos a distância entre os centros com a soma e a diferença dos raios.

Circunferência 1: x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 11 + 9 + 16, ou seja, (x-3)^2 + (y-4)^2 = 36. Centro C_1(3,4) e raio r_1 = 6.

Circunferência 2: x^2 - 8x + 16 + y^2 + 4y + 4 = -16 + 16 + 4, ou seja, (x-4)^2 + (y+2)^2 = 4. Centro C_2(4,-2) e raio r_2 = 2.

Distância entre os centros:

d = \sqrt{(4-3)^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37} \approx 6{,}08

Comparação:

  1. Soma dos raios: r_1 + r_2 = 8.
  2. Diferença dos raios: r_1 - r_2 = 4.
  3. Como 4 < \sqrt{37} < 8, temos |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2.

Quando a distância entre os centros fica entre a diferença e a soma dos raios, as circunferências se cortam em dois pontos, isto é, são secantes.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AExteriores exigiria d > 8, mas d \approx 6{,}08.
  • BTangência exterior exigiria d = 8, soma dos raios.
  • CTangência interior exigiria d = 4, diferença dos raios.
  • DConcêntricas exigiria centros iguais, mas (3,4) \neq (4,-2).

Assuntos: posição relativa de circunferências, equação da circunferência.

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Fonte: IME 2021 · Prova objetiva. Prova oficial ↗