Questão 6 do IME 2020

Pelo teorema do resto, dividir P(x) por x-a deixa resto P(a). Então P(2)=2, P(3)=3 e P(5)=5.

O divisor (x-2)(x-3)(x-5) tem grau 3, logo o resto R(x) tem grau no máximo 2. Escrevemos P(x)=(x-2)(x-3)(x-5)\,Q(x)+R(x).

Nas raízes do divisor o produto se anula, então R(a)=P(a):

1. R(2)=2
2. R(3)=3
3. R(5)=5

Seja S(x)=R(x)-x. Ele tem grau no máximo 2 e se anula em x=2, x=3 e x=5, ou seja, tem três raízes distintas. Um polinômio de grau no máximo 2 com três raízes só pode ser o polinômio nulo. Assim, S(x)=0 e R(x)=x.

Conferindo: R(2)=2, R(3)=3, R(5)=5, como exigido.

O resto é x.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AUma constante igual a 1 não satisfaz R(2)=2, R(3)=3 e R(5)=5.
• CUma constante 30 (o produto das raízes) não dá os valores 2, 3 e 5 nas raízes.
• Dx-1 daria R(2)=1, mas o resto deve valer 2 em x=2.
• Ex-30 daria R(2)=-28, incompatível com R(2)=2.

Assunto: Polinômios.

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