PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 do IME 2020

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Sistemas de numeração

Seja U o conjunto dos 1000 primeiros números naturais maiores que zero. Considere que zeros à esquerda são omitidos. Seja A \subseteq U o conjunto de números cuja representação na base 10 tem o algarismo mais significativo igual a 1; e B \subseteq U o conjunto de números cuja representação na base 4 tem o algarismo mais significativo igual a 2. As cardinalidades de A - B e de B - A são, respectivamente:

Observação:

  • cardinalidade de um conjunto finito é o número de elementos distintos desse conjunto.
  1. A
    46 e 277
  2. B
    45 e 275
  3. C
    44 e 275
  4. D
    45 e 277
  5. E
    46 e 275
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Resolução comentada

U=\{1,2,\dots,1000\}. Vamos contar A, B e A\cap B.

Conjunto A (começa com 1 na base 10): de 1 a 9: 1 número (o 1); de 10 a 99: 10 números; de 100 a 999: 100 números; e o 1000: 1 número. Total: |A|=1+10+100+1=112.

Conjunto B (começa com 2 na base 4): os números com k algarismos em base 4 e primeiro algarismo 2 vão de 2\cdot4^{k-1} a 3\cdot4^{k-1}-1, ou seja, 4^{k-1} números.

  • k=1: 1 número (2)
  • k=2: 4 (8 a 11)
  • k=3: 16 (32 a 47)
  • k=4: 64 (128 a 191)
  • k=5: 256 (512 a 767)

Para k=6 o início seria 2048 > 1000. Total: |B|=1+4+16+64+256=341.

Interseção A ∩ B: vemos quais números de A estão nos intervalos de B.

  • Intervalo 2 (2): não está em A.
  • 8 a 11: 10 e 11 estão em A → 2.
  • 32 a 47: 10 a 19 não; nenhum começa com 1 → 0.
  • 128 a 191: 128 a 191 começam com 1 → todos os 64.
  • 512 a 767: nenhum começa com 1 → 0.

Assim |A\cap B|=2+64=66.

Diferenças:

  • |A-B|=112-66=46
  • |B-A|=341-66=275

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aacerta 46, mas 277 vem de erro na interseção (usaria 64 em vez de 66).
  • B45 desconta um elemento a mais de A (ex.: esquece o 1000 em A).
  • C44 subtrai uma interseção maior que a real.
  • D45 e 277 resultam de contar a interseção errada (64 e perda de 1 em A).

Assuntos: Sistemas de numeração, Conjuntos e conjuntos numéricos.

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Fonte: IME 2020 · Prova objetiva. Prova oficial ↗