PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 do IME 2020

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Um triângulo equilátero é projetado ortogonalmente em um plano, gerando um triângulo isósceles, cujo ângulo desigual mede 30^\circ. O cosseno do ângulo do plano do triângulo equilátero com o plano de projeção é:

  1. A
    2\sqrt{3} - 3
  2. B
    4 - 2\sqrt{3}
  3. C
    2 - \sqrt{3}
  4. D
    1 - \sqrt{3}
  5. E
    \frac{\sqrt{3}}{2} - 1
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Resolução comentada

Na projeção ortogonal, o lado paralelo à reta de interseção dos planos mantém o comprimento, e as medidas perpendiculares a essa reta ficam multiplicadas por \cos\theta, em que \theta é o ângulo entre os planos.

Seja ABC equilátero de lado a. O triângulo projetado é isósceles com ângulo desigual de 30^\circ. A projeção do lado paralelo à interseção não muda, e a altura relativa a ele é a que encolhe. Para a projeção continuar isósceles com a simetria preservada, o vértice de ângulo desigual é o que está sobre a altura, e o ângulo desigual fica oposto à base BC (paralela à interseção).

  1. Base: B'C'=a.
  2. Altura original: h=\frac{a\sqrt3}{2}. Projetada: h'=\frac{a\sqrt3}{2}\cos\theta.
  3. No triângulo projetado, o ângulo no vértice vale 30^\circ, então a metade dele é 15^\circ: \tg 15^\circ=\dfrac{a/2}{h'}.
  4. Logo h'=\dfrac{a}{2\,\tg15^\circ}, e \tg15^\circ=2-\sqrt3, então h'=\dfrac{a}{2(2-\sqrt3)}=\dfrac{a(2+\sqrt3)}{2}.
  5. Então \cos\theta=\dfrac{h'}{h}=\dfrac{2+\sqrt3}{\sqrt3}, que é maior que 1. Impossível.

Portanto o vértice de ângulo desigual não é o oposto à base paralela. Tome então o lado BC perpendicular à interseção (encolhido) e a altura paralela, ou seja, a altura h=\frac{a\sqrt3}{2} fica intacta e a base vira a\cos\theta.

  1. No projetado: \tg15^\circ=\dfrac{(a\cos\theta)/2}{h}=\dfrac{a\cos\theta}{a\sqrt3}.
  2. Assim \cos\theta=\sqrt3\,\tg15^\circ=\sqrt3(2-\sqrt3)=2\sqrt3-3.

Verificação: 2\sqrt3-3\approx0{,}46, valor entre 0 e 1.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor 4-2\sqrt3\approx0{,}54 não sai de \sqrt3\,\tg15^\circ; vem de erro de álgebra com \tg15^\circ.
  • CÉ apenas \tg15^\circ, esquecendo o fator \sqrt3 da altura do equilátero.
  • DÉ negativo (1-\sqrt3<0), impossível para cosseno de ângulo entre planos.
  • ETambém é negativo, portanto impossível.

Assuntos: Vistas, projeções e planificações, Trigonometria no triângulo retângulo.

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Fonte: IME 2020 · Prova objetiva. Prova oficial ↗