Questão 12 do IME 2020

Passe tudo para um lado: x^2 + xy + 3y^2 - 2x + 4y + 5 = 0.

É uma cônica. O discriminante B^2-4AC diz o tipo (se houver pontos): com A=1, B=1, C=3, temos 1-12=-11<0, ou seja, tipo elíptico (elipse, ponto ou vazio). Falta ver se existem pontos reais.

Para isso, procure o centro, onde as derivadas parciais se anulam:

1. \partial_x: 2x + y - 2 = 0
2. \partial_y: x + 6y + 4 = 0

Da primeira, y = 2 - 2x. Na segunda: x + 12 - 12x + 4 = 0, logo x = \frac{16}{11} e y = 2 - \frac{32}{11} = -\frac{10}{11}.

No centro, o valor da expressão é metade do termo linear avaliado ali mais o termo constante:

Translada-se para o centro: x^2 + xy + 3y^2 + \frac{19}{11} = 0 (nas novas variáveis).

A forma quadrática x^2+xy+3y^2 é definida positiva (pois B^2-4AC<0 e A>0), então é sempre \ge 0. Somando \frac{19}{11}>0, o lado esquerdo nunca é zero.

Portanto não há ponto real que satisfaça a equação: o lugar geométrico é vazio.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa A engana: o discriminante negativo leva a 'elipse', mas é preciso checar que a equação tem solução real; aqui o resultado é vazio.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AO discriminante negativo sugere elipse, mas não se verificou que o lado esquerdo é sempre positivo, então não há pontos reais.
• BHipérbole exigiria B^2-4AC>0, e aqui o valor é -11.
• CCircunferência exigiria B=0 e A=C, o que não ocorre (há termo xy e A\neq C).
• ERetas paralelas exigiriam B^2-4AC=0 e a cônica degenerada, mas aqui o discriminante é -11.

Assunto: Cônicas e lugares geométricos.

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