PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 do IME 2019

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Sejam x_1, x_2 e x_3 raízes da equação x^3 - ax - 16 = 0. Sendo a um número real, o valor de x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 é igual a:

  1. A
    32 - a
  2. B
    48 - 2a
  3. C
    48
  4. D
    48 + 2a
  5. E
    32 + a
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Resolução comentada

Cada raiz x_i satisfaz a equação, então x_i^3 = a x_i + 16 para i=1,2,3.

Somando as três igualdades:

x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = a(x_1+x_2+x_3) + 3\cdot 16

Agora usamos as relações de Girard para x^3 + 0\cdot x^2 - ax - 16 = 0:

  1. Soma das raízes: x_1+x_2+x_3 = -\dfrac{0}{1} = 0, pois não há termo em x^2.

  2. Substituindo: a\cdot 0 + 48 = 48.

Conferindo pela identidade x_1^3+x_2^3+x_3^3 - 3x_1x_2x_3 = (x_1+x_2+x_3)(\dots) = 0: o produto das raízes é -(-16)/1 = 16, logo a soma dos cubos é 3\cdot 16 = 48. Os dois caminhos coincidem.

O valor não depende de a.

Alternativa C.

Pegadinha: As alternativas A, B, D e E dependem de a, enganando quem não percebe que x_1+x_2+x_3=0 elimina o termo em a.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhum cálculo válido; ignora que a soma das raízes é zero e o termo em a some.
  • BMantém um termo em a (como -2a), mas esse termo é multiplicado pela soma das raízes, que é 0.
  • DMantém um termo 2a que na verdade se anula, pois x_1+x_2+x_3=0.
  • EDeixa o termo em a, esquecendo que a soma das raízes é nula, e erra a constante.

Assunto: Equações polinomiais e relações de Girard.

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Fonte: IME 2019 · Prova objetiva. Prova oficial ↗