PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 do IME 2019

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Lei dos senos e lei dos cossenos

Seja um triângulo ABC com lados a, b e c opostos aos ângulos \hat{A}, \hat{B} e \hat{C}, respectivamente. Os lados a, b e c formam uma progressão aritmética nesta ordem. Determine a relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos dos vértices desse triângulo.

  1. A
    2\sen(\hat{A} + \hat{C}) = \sen(\hat{A}) + \sen(\hat{C})
  2. B
    2\cos(\hat{A} + \hat{C}) = \cos(\hat{A}) + \cos(\hat{C})
  3. C
    2\sen(\hat{A} - \hat{C}) = \sen(\hat{A}) - \sen(\hat{C})
  4. D
    2\cos(\hat{A} - \hat{C}) = \cos(\hat{A}) - \cos(\hat{C})
  5. E
    2\cos(\hat{A} + \hat{C}) = \sen(\hat{A}) + \sen(\hat{C})
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Resolução comentada

Se a, b, c estão em PA, o termo do meio é a média dos extremos: 2b = a + c.

Pela lei dos senos, a = 2R\,\sen A, b = 2R\,\sen B e c = 2R\,\sen C, onde R é o raio da circunferência circunscrita. Substituindo na relação da PA:

  1. 2\cdot 2R\,\sen B = 2R\,\sen A + 2R\,\sen C
  2. Dividindo por 2R: 2\,\sen B = \sen A + \sen C.

Como a soma dos ângulos internos é 180^\circ, temos B = 180^\circ - (A + C). Como \sen(180^\circ - x) = \sen x, resulta \sen B = \sen(A + C).

Logo:

2\,\sen(\hat{A} + \hat{C}) = \sen(\hat{A}) + \sen(\hat{C})

Essa é exatamente a alternativa A. As demais não decorrem da PA: as que usam cosseno ou a diferença A-C não correspondem à relação obtida (por exemplo, \cos(A+C) = -\cos B não tem relação direta com a+c=2b).

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem lembra que B=180^\circ-(A+C) mas esquece que é o seno (e não o cosseno) que se conserva: \sen B=\sen(A+C).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BUsa cosseno, mas a lei dos senos só leva a relação entre senos; além disso \cos(A+C)=-\cos B.
  • CUsa a diferença A-C, que não aparece ao substituir B=180^\circ-(A+C).
  • DMistura cosseno com diferença de ângulos, sem ligação com 2b=a+c.
  • EMistura \cos(A+C) no lado esquerdo com senos no direito; o correto é \sen(A+C), pois \sen B=\sen(A+C).

Assuntos: Lei dos senos e lei dos cossenos, Progressão aritmética.

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Fonte: IME 2019 · Prova objetiva. Prova oficial ↗