PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 do IME 2018

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

Seja f(x) uma função definida nos conjunto dos números reais, de forma que f(1) = 5 e para qualquer x pertencente aos números reais f(x+4) \ge f(x) + 4 e f(x+1) \le f(x) + 1.

Se g(x) = f(x) + 2 - x, o valor de g(2017) é:

  1. A
    2
  2. B
    6
  3. C
    13
  4. D
    2021
  5. E
    2023
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Resolução comentada

Vamos usar g(x)=f(x)+2-x para reescrever as duas condições.

Passo 1. Da condição f(x+1)\le f(x)+1:

g(x+1)=f(x+1)+2-(x+1)\le f(x)+1+2-x-1=g(x)

Logo, g é não crescente: g(x+1)\le g(x).

Passo 2. Da condição f(x+4)\ge f(x)+4:

g(x+4)=f(x+4)+2-x-4\ge f(x)+4+2-x-4=g(x)

Logo, g(x+4)\ge g(x).

Passo 3. Combinando: aplicando o passo 1 quatro vezes, g(x+4)\le g(x+3)\le g(x+2)\le g(x+1)\le g(x). Junto com g(x+4)\ge g(x), todas as desigualdades viram igualdades. Então g(x+1)=g(x) para todo x, ou seja, g é constante.

Passo 4. Calculamos a constante usando f(1)=5:

g(1)=f(1)+2-1=5+2-1=6

Portanto g(2017)=g(1)=6.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa só o termo 2 de g, ignorando f(x) e x; não tem relação com o cálculo de g(1).
  • CValor sem justificativa; não resulta de g ser constante igual a g(1).
  • DCalcula algo como 2017+4, tratando g como se crescesse com x, mas g é constante.
  • ESoma 2017+6 (ou supõe f(2017)=2017+...), ignorando que g é constante.

Assuntos: Conceito de função, composta e inversa, Inequações e desigualdades.

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Fonte: IME 2018 · Prova objetiva. Prova oficial ↗