Questão 3 do IME 2018

Seja X o número, S a soma dos algarismos e Q a soma dos quadrados deles. A condição é X = S + Q.

Um algarismo (X=a): a = a + a^2 leva a a^2=0, ou seja, a=0. Mas X é positivo, então não há solução.

Dois algarismos (X = 10a+b):

1. A equação fica 10a + b = a + b + a^2 + b^2.
2. Simplificando, 9a = a^2 + b^2, ou seja, b^2 = a(9-a).
3. Testando a de 1 a 9, o valor de a(9-a) é: 8,\ 14,\ 18,\ 20,\ 20,\ 18,\ 14,\ 8,\ 0.
4. Só precisamos de um quadrado perfeito (de 0 a 81). Entre esses valores, apenas 0 serve, e isso ocorre com a=9, dando b=0.

Logo X=90. Conferindo: 9+0=9 e 9^2+0^2=81, e 9+81=90. ✓

Não existe solução com um algarismo, e entre os de dois algarismos só 90 funciona. Portanto, o menor X é 90, que pertence a (75,100].

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANenhum número até 25 satisfaz a condição; por exemplo, 6 daria 6+36=42, não 6.
• BNenhum número entre 26 e 50 satisfaz b^2=a(9-a) com b inteiro.
• CNenhum número entre 51 e 75 satisfaz a equação, pois a(9-a) não é quadrado perfeito para a=5,6,7.
• EExiste solução menor (90), então o menor X não está acima de 100.

Assunto: Sistemas de numeração.

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