PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 do IME 2018

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Cônicas e lugares geométricos

Seja uma elipse com focos no eixo OX e centrada na origem. Seus eixos medem 10 e 20/3. Considere uma hipérbole tal que os focos da elipse são os vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são os vértices da elipse. As parábolas que passam pelas interseções entre a elipse e a hipérbole e que são tangentes ao eixo OY, na origem, têm as seguintes equações:

  1. A
    y^2 = \pm 2\dfrac{\sqrt{35}}{7} x
  2. B
    y^2 = \pm 4\dfrac{\sqrt{5}}{7} x
  3. C
    y^2 = \pm 6\dfrac{\sqrt{5}}{7} x
  4. D
    y^2 = \pm 6\dfrac{\sqrt{35}}{7} x
  5. E
    y^2 = \pm 8\dfrac{\sqrt{35}}{63} x
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Resolução comentada

Os eixos da elipse medem 10 e 20/3, então a=5 e b=10/3. Como os focos estão em OX, c^2=a^2-b^2=25-\frac{100}{9}=\frac{125}{9}, e c=\frac{5\sqrt5}{3}.

A hipérbole tem vértices nos focos da elipse, então a_h=\frac{5\sqrt5}{3} e a_h^2=\frac{125}{9}. Seus focos são os vértices da elipse, então c_h=5. Assim b_h^2=25-\frac{125}{9}=\frac{100}{9}.

Equações:

Elipse: \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{100/9}=1.

Hipérbole: \dfrac{x^2}{125/9}-\dfrac{y^2}{100/9}=1.

Somando as duas equações:

x^2\left(\frac1{25}+\frac9{125}\right)=2 \Rightarrow x^2\cdot\frac{14}{125}=2 \Rightarrow x^2=\frac{125}{7}.

Da elipse: \dfrac{y^2\cdot 9}{100}=1-\dfrac{5}{7}=\dfrac27, logo y^2=\dfrac{200}{63}.

As parábolas tangentes ao eixo OY na origem têm a forma y^2=kx. Passando pelos pontos de interseção, x=\pm\dfrac{5\sqrt5}{\sqrt7}:

k=\frac{y^2}{x}=\pm\frac{200/63}{5\sqrt5/\sqrt7}=\pm\frac{40\sqrt7}{63\sqrt5}=\pm\frac{40\sqrt{35}}{315}=\pm\frac{8\sqrt{35}}{63}.

Portanto y^2=\pm\dfrac{8\sqrt{35}}{63}x.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACoeficiente 2\sqrt{35}/7 não resulta de y^2/x nos pontos de interseção.
  • BCoeficiente 4\sqrt5/7 vem de erro ao calcular x^2 ou y^2 do ponto comum.
  • CCoeficiente 6\sqrt5/7 não corresponde a y^2/x=8\sqrt{35}/63.
  • DCoeficiente 6\sqrt{35}/7 é muito maior que o valor correto.

Assunto: Cônicas e lugares geométricos.

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Fonte: IME 2018 · Prova objetiva. Prova oficial ↗