Questão 8 do IME 2017

A raiz quadrada é crescente, então f é mínima exatamente onde a soma S(x)=|x-1|+|x-2|+\cdots+|x-2017| é mínima.\n\nConceito: a soma das distâncias de x a um conjunto de pontos na reta é mínima na mediana desses pontos. Se há uma quantidade ímpar de pontos, o mínimo ocorre exatamente no ponto central.\n\n1. Há 2017 pontos: 1, 2, \ldots, 2017 (quantidade ímpar).\n2. A posição central é \dfrac{2017+1}{2}=1009, então a mediana é 1009.\n3. Conferindo: para x ligeiramente menor que 1009, há 1009 termos decrescendo e 1008 crescendo, então S ainda diminui. Para x ligeiramente maior que 1009, há 1009 termos crescendo e 1008 decrescendo, então S aumenta. Logo o mínimo está em x=1009.\n\nO enunciado pergunta onde está o valor mínimo de f, e o ponto de mínimo é x=1009. Esse valor pertence ao intervalo (1008, 1009], pois 1008<1009\le 1009.\n\nAlternativa B.

Pegadinha: O intervalo (B) é aberto em 1008 e fechado em 1009; quem erra a mediana (usando 1008{,}5 ou 1010) cai nas alternativas vizinhas.

Por que as outras alternativas estão erradas

• APararia em 1008, que não é o ponto central de 1 a 2017; o intervalo exclui 1009.
• CO intervalo começa depois de 1009, mas a mediana é exatamente 1009, que não pertence a ele.
• DSeria o caso de um erro ao achar a mediana, como usar 2017/2\approx1008{,}5 e arredondar mal ou somar errado.
• ECorresponde a pontos muito à direita da mediana, onde a soma das distâncias já está crescendo.

Assuntos: Mediana e moda, Função modular.

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