PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 do IME 2017

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

Seja a equação

y^{\log_3 \sqrt{3y}} = y^{\log_3 3y} - 6\text{ ,}\quad y > 0

O produto das raízes reais desta equação é igual a:

  1. A
    \frac{1}{3}
  2. B
    \frac{1}{2}
  3. C
    \frac{3}{4}
  4. D
    2
  5. E
    3
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Resolução comentada

Seja t=\log_3 y, ou seja, y=3^t.

Transforme os expoentes:

  • \log_3\sqrt{3y}=\tfrac12(\log_3 3+\log_3 y)=\tfrac{1+t}{2}
  • \log_3 3y = 1+t

Como y^k=3^{tk}, a equação fica:

3^{t(1+t)/2}=3^{t(1+t)}-6

Faça u=3^{t(1+t)/2} (com u>0). Então 3^{t(1+t)}=u^2 e:

u^2-u-6=0 \Rightarrow u=3 \text{ ou } u=-2

Como u>0, só vale u=3. Logo:

\frac{t(1+t)}{2}=1 \Rightarrow t^2+t-2=0 \Rightarrow t=1 \text{ ou } t=-2

Voltando para y:

  • t=1 \Rightarrow y=3
  • t=-2 \Rightarrow y=\tfrac19

Conferindo y=3: 3^{\log_3 3}=3 e 3^{\log_3 9}-6=9-6=3. Confere.

O produto das raízes é 3\cdot\tfrac19=\tfrac13.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNão corresponde a nenhuma combinação das raízes 3 e 1/9; resulta de erro na resolução da equação em t.
  • CValor sem relação com as raízes y=3 e y=1/9, provavelmente de erro ao voltar da variável t para y.
  • DResulta de erro na simplificação do logaritmo de \sqrt{3y} ou na equação do segundo grau.
  • EÉ apenas uma das raízes (y=3), esquecendo de multiplicar pela outra, 1/9.

Assunto: Logaritmos e função logarítmica.

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Fonte: IME 2017 · Prova objetiva. Prova oficial ↗