Questão 6 do IME 2017

Note que A^2 - 2A + I = (A - I)^2. Pela propriedade \det(XY)=\det X\cdot\det Y, temos \det((A-I)^2) = [\det(A-I)]^2 = 16, logo \det(A-I) = 4 ou \det(A-I) = -4.

Monte A - I subtraindo 1 da diagonal principal:

Calcule o determinante pela regra de Sarrus:

1. Diagonais principais: 0\cdot0\cdot0 + a\cdot1\cdot2 + (-2)(a-2)(-3) = 2a + 6(a-2) = 8a - 12.
2. Diagonais secundárias: (-2)\cdot0\cdot2 + a(a-2)\cdot 0 + 0\cdot1\cdot(-3) = 0.

Portanto \det(A-I) = 8a - 12. Confira a diagonal secundária: os termos são a_{13}a_{22}a_{31}=(-2)(0)(2)=0, a_{11}a_{23}a_{32}=0\cdot1\cdot(-3)=0 e a_{12}a_{21}a_{33}=a(a-2)\cdot0=0. Está correto.

Agora resolva:

• 8a-12=4 \Rightarrow a=2
• 8a-12=-4 \Rightarrow a=1

A soma dos valores é 2+1=3.

Alternativa D.

Pegadinha: Esquecer que [\det(A-I)]^2=16 tem duas soluções, 4 e -4, leva às alternativas B ou C, que contam só uma raiz.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ASoma zero não corresponde às raízes a=1 e a=2; ignora o caso \det(A-I)=\pm4 corretamente.
• BConsidera apenas a raiz a=1 (caso -4) e esquece a raiz a=2.
• CConsidera apenas a raiz a=2 (caso +4) e esquece a raiz a=1.
• ESoma incorreta, resultante de erro no cálculo do determinante.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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