Questão 5 do IME 2017

Chame p = \sen\alpha\cos\alpha = \dfrac{1}{5}, então p^2 = \dfrac{1}{25}. A ideia é escrever as potências de quarta e sexta ordem usando a identidade \sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.

1. Numerador: elevando a identidade ao quadrado, \sen^4\alpha + \cos^4\alpha + 2\sen^2\alpha\cos^2\alpha = 1. Logo
   

   \sen^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2p^2 = 1 - \frac{2}{25} = \frac{23}{25}.

2. Denominador: usando a soma de cubos com a=\sen^2\alpha e b=\cos^2\alpha, temos a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b). Como a+b=1:
   

   \sen^6\alpha + \cos^6\alpha = 1 - 3p^2 = 1 - \frac{3}{25} = \frac{22}{25}.

3. Razão:
   

   \frac{23/25}{22/25} = \frac{23}{22}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AUsa 22/21, combinação sem base nas identidades; não corresponde a nenhuma conta correta com p^2=1/25.
• CValor sem relação com 1-2p^2 e 1-3p^2; resulta de misturar numerador e denominador incorretamente.
• DResultado que não sai das expressões 23/25 e 22/25; provável erro ao usar p em vez de p^2.
• ESeria a razão se o numerador fosse 26/25, o que ocorreria ao somar 2p^2 em vez de subtrair.

Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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