PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 do IME 2017

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Combinações e binômio de Newton

No desenvolvimento de

\left(x.\sen 2\beta + \frac{1}{x}\cos 2\beta\right)^{10}

o valor do termo independente de x é igual a 63/256 . Considerando que \beta é um número real, com 0 < \beta < \pi/8 e x \neq 0, o valor de \beta é:

  1. A
    \pi/9
  2. B
    \pi/12
  3. C
    \pi/16
  4. D
    \pi/18
  5. E
    \pi/24
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Termo geral do binômio: T_{k+1}=\binom{10}{k}(x\,\sen 2\beta)^{10-k}\left(\frac{\cos 2\beta}{x}\right)^{k}. A potência de x é x^{10-k-k}=x^{10-2k}. Para o termo independente, 10-2k=0, logo k=5.

O termo independente é então:

\binom{10}{5}(\sen 2\beta)^5(\cos 2\beta)^5=252\,(\sen 2\beta\cos 2\beta)^5

Usando \sen 2\beta\cos 2\beta=\frac{\sen 4\beta}{2}:

252\cdot\frac{(\sen 4\beta)^5}{32}=\frac{63}{256}

Isolando:

(\sen 4\beta)^5=\frac{63}{256}\cdot\frac{32}{252}=\frac{63}{8\cdot 252}=\frac{1}{8\cdot 4}=\frac{1}{32}

Portanto \sen 4\beta=\frac{1}{2}.

Como 0<\beta<\frac{\pi}{8}, temos 0<4\beta<\frac{\pi}{2}, e nesse intervalo o único ângulo com seno \frac12 é \frac{\pi}{6}. Assim 4\beta=\frac{\pi}{6}, ou seja, \beta=\frac{\pi}{24}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A\pi/9 daria 4\beta=4\pi/9, cujo seno não é 1/2 (e \pi/9>\pi/8 não vale, pois \pi/9<\pi/8 mas o seno não confere).
  • B\pi/12 daria \sen(\pi/3)=\sqrt3/2, não 1/2.
  • C\pi/16 daria \sen(\pi/4)=\sqrt2/2, não 1/2.
  • D\pi/18 daria \sen(2\pi/9), diferente de 1/2.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Identidades, adição de arcos e arco duplo.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 4 no caderno Prova objetiva do IME 2017

Fonte: IME 2017 · Prova objetiva. Prova oficial ↗