Questão 3 do IME 2017

Escreva Z_2 = bi, com b real (imaginário puro), e Z_1 = x + yi.

A condição |Z_1 - Z_2| = |Z_2| diz que a distância de Z_1 a Z_2 é igual a |Z_2|=|b|. Ou seja, Z_1 está na circunferência de centro Z_2 e raio |Z_2|.

1. Em coordenadas: x^2 + (y-b)^2 = b^2.
2. Desenvolvendo: x^2 + y^2 - 2by = 0, isto é, |Z_1|^2 = 2by.

Agora testamos as alternativas.

O centro Z_2 fica sobre o eixo imaginário, então a circunferência passa pela origem e tem diâmetro vertical entre 0 e 2bi. Pelo diâmetro, o ponto mais distante da origem está a 2|b|. Logo, |Z_1| \le 2|Z_2| sempre.

Pela fórmula: |Z_1|^2 = 2by \le 2|b|\,|y| \le 2|b|\,|Z_1|. Se Z_1\ne 0, dividindo por |Z_1| obtém-se |Z_1| \le 2|b| = 2|Z_2|. Se Z_1=0, vale trivialmente.

As demais alternativas falham:

• b pode ser positivo ou negativo, então (A) e (B) não valem sempre.
• x pode ser positivo ou negativo (pontos à esquerda e à direita do centro), então (D) não vale sempre.
• (E): com b=1, Z_1 = -1 + i satisfaz x^2+(y-1)^2=1 e x=-1\le 1; mas com b=-1, Z_1=1-i tem x=1 > -1, contrariando (E).

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Ab pode ser negativo, pois Z_2=bi com b real qualquer não nulo serve.
• Bb também pode ser positivo, então \text{Im}(Z_2)\le 0 não é obrigatório.
• DA circunferência tem pontos de ambos os lados do eixo imaginário, logo \text{Re}(Z_1) pode ser negativo.
• ECom Z_2=-i e Z_1=1-i as condições valem e \text{Re}(Z_1)=1>-1=\text{Im}(Z_2).

Assunto: Números complexos.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.