Questão 2 do IME 2017

Para resolver a inequação, passe tudo para um lado e fatore, sem multiplicar por x, pois não sabemos o sinal de x.

1. \dfrac{x^2-2x-14}{x}-3>0 \Rightarrow \dfrac{x^2-5x-14}{x}>0.
2. Raízes do numerador: x^2-5x-14=(x-7)(x+2), ou seja, x=7 e x=-2. O denominador se anula em x=0, que fica excluído.
3. Estudo do sinal de \dfrac{(x-7)(x+2)}{x} com pontos críticos -2, 0 e 7:

• x<-2: três fatores negativos, resultado negativo.
• -2<x<0: (-)(+)/(-), resultado positivo.
• 0<x<7: (-)(+)/(+), resultado negativo.
• x>7: resultado positivo.

Logo a solução é -2<x<0 ou x>7.

4. Juntando com x\le 12: -2<x<0 ou 7<x\le 12.
5. Inteiros: em (-2,0) só -1 (1 valor). Em (7,12] temos 8,9,10,11,12 (5 valores).

Total: k=1+5=6, então 6\le k<8.

Alternativa D.

Pegadinha: Multiplicar a inequação por x sem considerar seu sinal leva a um conjunto solução errado e a outra contagem de inteiros.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta poucas soluções, talvez só os inteiros negativos ou esquecendo o intervalo de 8 a 12.
• BResulta de contar errado os inteiros, por exemplo ignorando o -1 e parte do intervalo positivo.
• CConta só os inteiros de 8 a 12 e o -1 de forma incompleta, chegando a 5 ou menos.
• EInclui valores fora do conjunto solução, como 0, -2 ou 7, que anulam ou tornam a desigualdade falsa.

Assuntos: Inequações e desigualdades, Divisibilidade, MMC e MDC.

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