PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 do IME 2017

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Inequações e desigualdades

Assinale a alternativa verdadeira:

  1. A
    \sqrt{2016} - \sqrt{2015} < \sqrt{2017} - \sqrt{2016} < \left(2\sqrt{2016}\right)^{-1}
  2. B
    \sqrt{2017} - \sqrt{2016} < \sqrt{2016} - \sqrt{2015} < \left(2\sqrt{2016}\right)^{-1}
  3. C
    \sqrt{2017} - \sqrt{2016} < \left(2\sqrt{2016}\right)^{-1} < \sqrt{2016} - \sqrt{2015}
  4. D
    \sqrt{2016} - \sqrt{2015} < \left(2\sqrt{2016}\right)^{-1} < \sqrt{2017} - \sqrt{2016}
  5. E
    \left(2\sqrt{2016}\right)^{-1} < \sqrt{2017} - \sqrt{2016} < \sqrt{2016} - \sqrt{2015}
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Resolução comentada

Racionalize as diferenças. Para n=2016:

  1. \sqrt{2017}-\sqrt{2016}=\dfrac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}
  2. \sqrt{2016}-\sqrt{2015}=\dfrac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}
  3. \left(2\sqrt{2016}\right)^{-1}=\dfrac{1}{2\sqrt{2016}}=\dfrac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2016}}

Agora as três frações têm numerador 1, então a maior fração é a de menor denominador. Compare os denominadores:

  • \sqrt{2017}+\sqrt{2016} é o maior, pois \sqrt{2017}>\sqrt{2016}.
  • \sqrt{2016}+\sqrt{2015} é o menor, pois \sqrt{2015}<\sqrt{2016}.
  • \sqrt{2016}+\sqrt{2016} fica no meio.

Assim:

\sqrt{2016}+\sqrt{2015}<2\sqrt{2016}<\sqrt{2017}+\sqrt{2016}

Invertendo (os denominadores são positivos, então a desigualdade se inverte):

\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}<\frac{1}{2\sqrt{2016}}<\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}

Ou seja:

\sqrt{2017}-\sqrt{2016}<\left(2\sqrt{2016}\right)^{-1}<\sqrt{2016}-\sqrt{2015}

Isso é exatamente o que diz a alternativa C.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AColoca \sqrt{2016}-\sqrt{2015} como a menor, quando é a maior das três.
  • BColoca \left(2\sqrt{2016}\right)^{-1} como o maior valor, mas ele fica entre as duas diferenças.
  • DInverte a ordem: \sqrt{2017}-\sqrt{2016} é a menor, não a maior.
  • EFaz \left(2\sqrt{2016}\right)^{-1} o menor, mas ele é maior que \sqrt{2017}-\sqrt{2016}.

Assuntos: Inequações e desigualdades, Potenciação e radiciação.

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Fonte: IME 2017 · Prova objetiva. Prova oficial ↗