Questão 10 do IME 2016

Primeiro, o domínio: a raiz exige \log_{10}k-1\ge 0, ou seja, \log_{10}k\ge 1, o que dá k\ge 10.

Depois, simplifique o termo com a base 10^{-1}. Pela mudança de base, \log_{10^{-1}} k^{1/4}=-\log_{10}k^{1/4}=-\tfrac14\log_{10}k. Então 10\log_{10^{-1}}k^{1/4}=-\tfrac52\log_{10}k.

Faça x=\log_{10}k, com x\ge1. A desigualdade fica:

Substitua t=\sqrt{x-1}\ge 0, de modo que x=t^2+1:

1. 2t-\tfrac52(t^2+1)+3>0
2. -\tfrac52 t^2+2t+\tfrac12>0
3. Multiplicando por -2 (o sinal inverte): 5t^2-4t-1<0
4. Fatorando: (5t+1)(t-1)<0, logo -\tfrac15<t<1.

Como t\ge0, resta 0\le t<1. Isso significa 0\le x-1<1, isto é, 1\le\log_{10}k<2, ou seja, 10\le k<100.

Conferência: em k=10 temos t=0 e a expressão vale 0{,}5>0. Em k=100 temos t=1 e a expressão vale 0, que não é >0.

Os inteiros de 10 a 99 são 99-10+1=90.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana quem inclui k=100: nele a expressão vale 0, e a desigualdade é estrita. A B engana quem esquece que k=10 está no domínio.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta só os valores de 10 a 19 ou confunde a quantidade com a base 10; não tem relação com o intervalo encontrado.
• BConta de 11 a 99, excluindo k=10, mas k=10 está no domínio e satisfaz a desigualdade.
• DConta de 1 a 99, ignorando a condição de existência da raiz (k\ge10).
• EInclui k=100, que dá igualdade (expressão igual a 0), não desigualdade estrita.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Inequações e desigualdades.

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