PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 do IME 2016
O valor do somatório abaixo é:
\sum_{k=1}^{15} \text{Img} (\text{cis}^{2k-1} \frac{\pi}{36})
Observação: \text{Img}(w) é a parte imaginária de w.
- A\frac{2+\sqrt{3}}{4\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{36}}
- B\frac{2-\sqrt{3}}{4\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{36}}
- C\frac{1}{4\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{36}}
- D\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{36}
- E\frac{1}{4}
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Resolução comentada
Pela fórmula de De Moivre, \text{cis}^{m}\theta=\text{cis}(m\theta). Logo, a parte imaginária de cada termo é \sen\dfrac{(2k-1)\pi}{36}, e o somatório vale
S=\sum_{k=1}^{15}\sen\big((2k-1)x\big),\quad x=\frac{\pi}{36}.
Para somar senos de ângulos em progressão aritmética, multiplicamos e dividimos por \sen x e usamos 2\sen a\,\sen b=\cos(a-b)-\cos(a+b):
2\sen x\,\sen((2k-1)x)=\cos((2k-2)x)-\cos(2kx).
A soma é telescópica:
2\sen x\cdot S=\cos 0-\cos(30x)=1-\cos 30x.
Como 1-\cos 2\theta=2\sen^2\theta, temos 2\sen x\cdot S=2\sen^2(15x), ou seja,
S=\frac{\sen^2(15x)}{\sen x}.
Com 15x=\dfrac{15\pi}{36}=\dfrac{5\pi}{12}=75^\circ:
\sen^2 75^\circ=\frac{1-\cos150^\circ}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt3}{4}.
Portanto
S=\frac{2+\sqrt3}{4\,\sen\frac{\pi}{36}}.
Alternativa A.
Por que as outras alternativas estão erradas
- Btroca o sinal em 1-\cos150^\circ, usando \cos150^\circ=+\frac{\sqrt3}{2} em vez de -\frac{\sqrt3}{2}.
- Cnão corresponde ao valor calculado; ignora o fator \sen^2 75^\circ=\frac{2+\sqrt3}{4} do numerador.
- Dnão tem relação com o resultado da soma telescópica; é só o denominador, sem a divisão.
- Evalor constante sem a divisão por \sen\frac{\pi}{36}, que aparece na fórmula.
Assuntos: Números complexos, Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.
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Fonte: IME 2016 · Prova objetiva. Prova oficial ↗