PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 do IME 2016

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Sabendo-se que m e n são inteiros positivos tais que 3^m + 14400 = n^2, determine o resto da divisão de m+n por 5.

  1. A
    0
  2. B
    1
  3. C
    2
  4. D
    3
  5. E
    4
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Resolução comentada

Passe o 14400 para o outro lado e use diferença de quadrados. Como 14400 = 120^2:

n^2 - 120^2 = 3^m \Rightarrow (n-120)(n+120)=3^m

O produto é uma potência de 3, então cada fator também é uma potência de 3. Escreva n-120=3^a e n+120=3^b, com b>a e a+b=m.

  1. Subtraindo os fatores: 3^b-3^a=240.
  2. Colocando 3^a em evidência: 3^a(3^{b-a}-1)=240=3\cdot 80.
  3. Como 3^{b-a}-1 não é múltiplo de 3 (é um múltiplo de 3 menos 1), todo fator 3 de 240 vem de 3^a. Logo 3^a=3, ou seja, a=1.
  4. Então 3^{b-a}-1=80, ou seja, 3^{b-a}=81=3^4, e b=5.

Assim, m=a+b=6 e n=3+120=123.

Conferindo: 3^6+14400=729+14400=15129=123^2. ✓

Portanto m+n=6+123=129, que dividido por 5 deixa resto 4.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResto 0 não corresponde a m+n=129; seria o caso de um valor múltiplo de 5.
  • BResto 1 vem de erro no cálculo de m ou n; 129 não deixa resto 1.
  • CResto 2 não confere com 129 = 5\cdot 25+4.
  • DResto 3 não confere com 129 = 5\cdot 25+4.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Potenciação e radiciação.

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Fonte: IME 2016 · Prova objetiva. Prova oficial ↗