Questão 2 do IME 2016

Use as relações de Girard para o polinômio x^3+ax^2+bx+c, com raízes \alpha, -\alpha e \frac{1}{\alpha}. Nelas, a soma das raízes vale -a, a soma dos produtos dois a dois vale b e o produto das raízes vale -c.

1. Soma das raízes: \alpha-\alpha+\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{\alpha}=-a, logo a=-\frac{1}{\alpha}.
2. Produtos dois a dois: \alpha(-\alpha)+\alpha\cdot\frac{1}{\alpha}+(-\alpha)\cdot\frac{1}{\alpha}=-\alpha^2+1-1=-\alpha^2, logo b=-\alpha^2.
3. Produto das raízes: \alpha\cdot(-\alpha)\cdot\frac{1}{\alpha}=-\alpha=-c, logo c=\alpha.

Substitua na expressão pedida:

• b+c^2=-\alpha^2+\alpha^2=0
• ac=-\frac{1}{\alpha}\cdot\alpha=-1
• \frac{b}{c^2}=\frac{-\alpha^2}{\alpha^2}=-1

Somando: 0-1-1=-2.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BSoma só um dos termos -1 (ac ou b/c^2), esquecendo o outro.
• CConsidera apenas b+c^2=0 e ignora ac e b/c^2.
• DErra os sinais de Girard (usa a=\frac{1}{\alpha} e c=-\alpha ou similar), trocando os sinais dos termos.
• EInverte o sinal dos termos ac e b/c^2 por erro nos sinais de Girard.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Polinômios.

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