Questão 1 do IME 2016

Queremos o conjunto G-H = G\cap\overline{H}. Como os conjuntos são quaisquer, testamos cada alternativa e vemos qual sempre coincide com ele.

Alternativa C:

1. (G\cup(H-F))\cap\overline{H} distribui a interseção: (G\cap\overline{H})\cup((H-F)\cap\overline{H}).
2. Os elementos de H-F estão em H, logo (H-F)\cap\overline{H}=\varnothing.
3. Sobra G\cap\overline{H}=G-H. Confere.

Contraexemplos para as outras (basta um caso):

• A: com G=\varnothing, F=\{1\}, H=\varnothing, dá F-(F-H)=\{1\}-\{1\}... em geral (G\cup F)-(F-H) mantém elementos de F\cap H, que não estão em G-H. Por exemplo, F=H=\{1\}, G=\varnothing: dá \{1\}-\varnothing=\{1\}\neq\varnothing.
• B: com G=\varnothing, H=\{1\}, F=\varnothing: dá \{1\}-\{1\}=\varnothing, mas com H=\{1\}, F=\{1\}: dá \{1\}-\varnothing=\{1\}\neq\varnothing.
• D: contém todo o complemento de G, que não é subconjunto de G-H.
• E: exige G-F, então perde elementos de G\cap F\cap\overline{H}, que pertencem a G-H.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Amantém elementos de F\cap H (ex.: F=H=\{1\}, G=\varnothing dá \{1\}), que não estão em G-H.
• Bcom G=\varnothing, H=F=\{1\} resulta \{1\}, e G-H seria vazio.
• Dinclui todo o complemento de G, que não pertence a G-H.
• Ea condição extra G-F elimina elementos de G\cap F que não estão em H.

Assunto: Conjuntos e conjuntos numéricos.

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