Questão 3 (Física) da 2ª fase do IME 2026

Question

Diagrama de um pêndulo preso no ponto A por um fio de comprimento ℓ, inicialmente na horizontal à direita. Abaixo de A, a uma distância vertical d, encontra-se o ponto B, com uma barra delgada fixa entre A e B. A linha tracejada ilustra a trajetória da esfera caindo sob gravidade g, passando abaixo de B e subindo pelo lado esquerdo em direção à barra.

Uma pequena esfera é presa ao ponto A indicado na figura por um fio de comprimento \ell. Abaixo e na mesma vertical de A, a uma distância d, há o ponto B, de forma que uma barra delgada imóvel é fixada entre A e B.

Em um determinado momento, a esfera é posicionada à direita de A, de maneira que o fio esteja esticado na horizontal. Na sequência, a esfera é solta, passando a movimentar-se em uma trajetória que descreve um quarto de circunferência em torno de A e, ao passar por baixo do ponto B, parte do fio encosta e gruda na barra e a esfera continua seu movimento.

Dado:
• aceleração da gravidade: g.

Observação:
• o fio é inextensível e de massa desprezível.

Determine, em função de \ell e de acordo com o contexto apresentado:

a) o valor mínimo de d para que a trajetória descrita pela esfera após passar por baixo de B seja uma semicircunferência;

b) o raio de curvatura instantâneo, caso d = 3/7\ \ell, da trajetória da esfera em seu ponto mais alto após ter passado por baixo do ponto B.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Física) da 2ª fase do IME 2026

Física · Física: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta)

Diagrama de um pêndulo preso no ponto A por um fio de comprimento ℓ, inicialmente na horizontal à direita. Abaixo de A, a uma distância vertical d, encontra-se o ponto B, com uma barra delgada fixa entre A e B. A linha tracejada ilustra a trajetória da esfera caindo sob gravidade g, passando abaixo de B e subindo pelo lado esquerdo em direção à barra.

Uma pequena esfera é presa ao ponto A indicado na figura por um fio de comprimento \ell. Abaixo e na mesma vertical de A, a uma distância d, há o ponto B, de forma que uma barra delgada imóvel é fixada entre A e B.

Em um determinado momento, a esfera é posicionada à direita de A, de maneira que o fio esteja esticado na horizontal. Na sequência, a esfera é solta, passando a movimentar-se em uma trajetória que descreve um quarto de circunferência em torno de A e, ao passar por baixo do ponto B, parte do fio encosta e gruda na barra e a esfera continua seu movimento.

Dado:
• aceleração da gravidade: g.

Observação:
• o fio é inextensível e de massa desprezível.

Determine, em função de \ell e de acordo com o contexto apresentado:

a) o valor mínimo de d para que a trajetória descrita pela esfera após passar por baixo de B seja uma semicircunferência;

b) o raio de curvatura instantâneo, caso d = 3/7\ \ell, da trajetória da esfera em seu ponto mais alto após ter passado por baixo do ponto B.

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Resolução comentada

a) Na descida, a esfera percorre um quarto de circunferência de raio \ell em torno de A. A energia mecânica se conserva, então no ponto mais baixo:

v^2 = 2g\ell

Ao passar abaixo de B, o fio encosta na barra e a parte entre A e B fica "gasta" sobre ela. O novo centro passa a ser B, e o raio passa a ser r=\ell-d.

Para a trajetória ser uma semicircunferência, a esfera deve chegar ao topo, que fica a 2r acima do ponto mais baixo, com o fio ainda esticado. No topo, a condição limite é T=0, isto é, v_t^2 \ge g r.

Pela conservação de energia:

v_t^2 = 2g\ell - 4g r

Impondo v_t^2\ge gr:

2\ell - 4r \ge r \;\Rightarrow\; r\le \frac{2\ell}{5}

Como r=\ell-d:

\ell-d\le\frac{2\ell}{5}\;\Rightarrow\; d\ge\frac{3\ell}{5}

Nesse caso r\le d, então o topo está sobre a barra. Logo:

d_{\min}=\dfrac{3\ell}{5}

b) Com d=\frac{3}{7}\ell, o raio é r=\frac{4}{7}\ell. Esse valor é maior que \frac{2}{5}\ell, então o fio afrouxa antes do topo e a esfera passa a descrever um lançamento oblíquo.

Seja \theta o ângulo, acima da horizontal que passa por B, em que T=0. A altura acima do ponto mais baixo é r(1+\sen\theta). A conservação de energia dá:

v^2 = 2g\left[\ell - r(1+\sen\theta)\right]

Com T=0, a componente radial do peso é a própria resultante centrípeta:

\frac{v^2}{r}=g\sen\theta \;\Rightarrow\; v^2=gr\sen\theta

Igualando as duas expressões:

2\ell-2r = 3r\sen\theta \;\Rightarrow\; \sen\theta=\frac{2d}{3r}=\frac{2\cdot 3/7}{3\cdot 4/7}=\frac12

Logo \theta=30^\circ e

v^2 = g\cdot\frac{4\ell}{7}\cdot\frac12=\frac{2g\ell}{7}

Nesse instante a velocidade é tangente à circunferência. Ela forma ângulo \theta com a vertical, então a componente horizontal é v_x=v\sen\theta e permanece constante no lançamento.

No ponto mais alto da trajetória, a velocidade é só horizontal, v_x, e o peso é totalmente centrípeto:

R=\frac{v_x^2}{g}=\frac{v^2\sen^2\theta}{g}=\frac{2\ell}{7}\cdot\frac14=\frac{\ell}{14}

A esfera ainda não atingiu a barra nesse ponto: ela se afasta \frac{2\sqrt3}{7}\ell\approx0{,}49\,\ell da barra ao soltar o fio e avança só \frac{\sqrt3}{14}\ell\approx0{,}12\,\ell até o ponto mais alto.

R=\dfrac{\ell}{14}

Assuntos: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta), Energia mecânica e sua conservação.

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Questão 3 no caderno Física da 2ª fase do IME 2026

Fonte: IME 2ª fase 2026 · Física. Prova oficial ↗