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Questão 2 (Física) da 2ª fase do IME 2026

Física · Física: Gravitação universal e satélites

Um sistema planetário muito distante é composto por dois planetas A e B que executam ambos órbitas circulares em torno da estrela S. Um cometa C estava em rota de colisão frontal com A. Depois da colisão, foi possível observar que o choque foi perfeitamente inelástico e quando os corpos se moviam em sentido contrário, gerando assim o novo planeta, chamado CA, agora com órbita elíptica em torno de S.

Dados:
• tempo de órbita completa de A em torno de S (antes da colisão): 160 dias de A;
• 1 dia de A (antes da colisão): 4 dias terrestres;
• tempo de órbita completa de B em torno de S: 90 dias de B;
• 1 dia de B: 3 dias terrestres;
• para um corpo fixo na superfície de CA, imediatamente após o choque, a força de gravidade provocada por S é 0{,}081\% da força de gravidade provocada por CA;
• para um corpo fixo na superfície de B, a força de gravidade provocada por S é 2{,}048\% da força de gravidade provocada por B;
• dimensões de CA (depois da colisão) = dimensões de A (antes da colisão) = dimensões de B;
• a energia mecânica (cinética mais potencial gravitacional) de CA (após a colisão) é 7 vezes a energia mecânica de B, sendo ambas negativas.

Observações:
• despreze o efeito gravitacional da aproximação do cometa C nas trajetórias dos planetas A e B;
• despreze a interação gravitacional entre os planetas A e B;
• o potencial gravitacional no infinito é nulo;
• os raios de A e B são muito menores que os raios de suas órbitas.

Considerando o cenário descrito, determine:

a) a razão entre os raios das órbitas de A e B;

b) a razão entre as velocidades das órbitas de A e B;

c) a razão entre as massas de B e CA;

d) a razão entre a velocidade de órbita de B e a velocidade de CA imediatamente após o choque;

e) se, imediatamente após o choque, CA estará em apoastro (ponto da órbita mais afastado de S) ou em periastro (ponto da órbita mais próximo de S), justificando a sua resposta.

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Resolução comentada

a) Primeiro passe os períodos para dias terrestres: T_A = 160\times 4 = 640 dias e T_B = 90\times 3 = 270 dias.

Pela 3ª lei de Kepler, T^2\propto r^3 para órbitas em torno da mesma estrela:

\left(\frac{r_A}{r_B}\right)^3=\left(\frac{640}{270}\right)^2=\left(\frac{64}{27}\right)^2 \Rightarrow \frac{r_A}{r_B}=\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}

r_A/r_B = 16/9

b) Em órbita circular, v=\dfrac{2\pi r}{T}. Então:

\frac{v_A}{v_B}=\frac{r_A}{r_B}\cdot\frac{T_B}{T_A}=\frac{16}{9}\cdot\frac{270}{640}=\frac{3}{4}

Confere com v=\sqrt{GM_S/r}, que dá v_A/v_B=\sqrt{r_B/r_A}=3/4.

v_A/v_B = 3/4

c) Para um corpo de massa m na superfície de um planeta de raio R, a razão entre a força de S e a força do planeta é \dfrac{M_S R^2}{M_p\, r^2}. Os raios R são iguais, e imediatamente após o choque CA ainda está a r_A de S.

  • CA: \dfrac{M_S}{M_{CA}}\dfrac{R^2}{r_A^2}=8{,}1\times10^{-4}
  • B: \dfrac{M_S}{M_B}\dfrac{R^2}{r_B^2}=2{,}048\times10^{-2}

Dividindo a primeira pela segunda, M_S e R se cancelam:

\frac{M_B}{M_{CA}}\left(\frac{r_B}{r_A}\right)^2=\frac{8{,}1\times10^{-4}}{2{,}048\times10^{-2}}\Rightarrow \frac{M_B}{M_{CA}}=\frac{8{,}1}{204{,}8}\cdot\frac{256}{81}=\frac{1}{8}

M_B/M_{CA}=1/8

d) Energia mecânica de B (órbita circular): E_B=-\dfrac{GM_SM_B}{2r_B}.

Energia de CA logo após o choque, com velocidade v a r_A de S: E_{CA}=M_{CA}\left(\dfrac{v^2}{2}-\dfrac{GM_S}{r_A}\right).

O enunciado dá E_{CA}=7E_B, e pelo item (c) M_{CA}=8M_B. Chamando v_B^2=GM_S/r_B, temos \dfrac{GM_S}{r_A}=\dfrac{r_B}{r_A}v_B^2=\dfrac{9}{16}v_B^2. Assim:

8\left(\frac{v^2}{2}-\frac{9}{16}v_B^2\right)=-\frac{7}{2}v_B^2\Rightarrow \frac{v^2}{2}=\frac{9}{16}v_B^2-\frac{7}{16}v_B^2=\frac{v_B^2}{8}

Logo v=\dfrac{v_B}{2}.

v_B/v_{CA}=2

e) Como a colisão é frontal e entre velocidades tangenciais, a velocidade de CA logo após o choque continua perpendicular ao raio vetor. Isso significa que esse ponto é um apside (apoastro ou periastro).

A velocidade circular de A a essa distância é v_A=\tfrac34 v_B=0{,}75\,v_B, e CA tem apenas v=0{,}5\,v_B, menor que a circular.

Com velocidade menor que a circular, a atração de S supera o que seria necessário para manter o raio, e CA passa a cair em direção à estrela. Então o ponto é o mais afastado da órbita. A órbita é ligada porque E_{CA}<0.

CA está no apoastro.

Assuntos: Gravitação universal e satélites, Colisões, Leis de Kepler.

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Fonte: IME 2ª fase 2026 · Física. Prova oficial ↗