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Questão 8 (Física) da 2ª fase do IME 2025

Física · Física: Equilíbrio do ponto material

Treliça formada por barras metálicas com apoios nos nós A e E, distantes 4 m entre si, com nó intermediário C a 2 m de cada apoio. Os nós superiores B e D encontram-se a 1 m de altura da base ACE. Sobre o nó D atua uma força vertical de 8 kN orientada para baixo.

A treliça estável da figura, composta por barras metálicas formando 3 triângulos isósceles, é apoiada nos pontos A e E. No ponto D é aplicada uma força vertical, de cima para baixo, de 8\ \text{kN}.

Diante do exposto, determine.:

a) as reações de apoio nos pontos A e E;

b) as cargas a que são submetidas as barras AB, AC, CE e DE, além da natureza de cada uma delas (tração ou compressão);

c) as cargas a que são submetidas as barras BC e CD, além da natureza de cada uma delas (tração ou compressão).

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Resolução comentada

a) Coloque a origem em A: C está em x=2, E em x=4 e D em x=3. Não há força horizontal aplicada, então as reações são verticais, A_y e E_y.

Momentos em relação a A:

E_y\cdot 4 = 8\cdot 3 \Rightarrow E_y = 6\ \text{kN}

Equilíbrio vertical:

A_y + E_y = 8 \Rightarrow A_y = 2\ \text{kN}

Ambas apontam para cima. A = 2\ \text{kN} e E = 6\ \text{kN}, verticais e para cima.

b) Use o método dos nós, com barras ideais que só recebem força axial. Cada triângulo tem base 2 m e altura 1 m, então AB, BC, CD e DE formam 45^\circ com a horizontal, e \sen 45^\circ=\cos 45^\circ=1/\sqrt2.

Nó A (reação de 2 kN para cima):

  • Vertical: 2 - F_{AB}/\sqrt2 = 0 \Rightarrow F_{AB}=2\sqrt2\approx 2{,}83\ \text{kN}, e a barra empurra o nó, ou seja, está comprimida.
  • Horizontal: a barra AB comprimida empurra o nó A para a esquerda com componente 2 kN. Então AC puxa o nó para a direita com F_{AC}=2\ \text{kN}, ou seja, está tracionada.

Nó E (reação de 6 kN para cima):

  • Vertical: 6 = F_{DE}/\sqrt2 \Rightarrow F_{DE}=6\sqrt2\approx 8{,}49\ \text{kN}, comprimida.
  • Horizontal: a componente de DE empurra o nó E para a direita com 6 kN. Então CE puxa o nó para a esquerda com F_{CE}=6\ \text{kN}, tracionada.

AB = 2\sqrt2 kN (compressão); AC = 2 kN (tração); CE = 6 kN (tração); DE = 6\sqrt2 kN (compressão).

c) Nó B: AB comprimida empurra B com componentes de 2 kN para a direita e 2 kN para cima. A barra BC deve equilibrar a componente vertical, puxando B para baixo:

F_{BC}/\sqrt2 = 2 \Rightarrow F_{BC}=2\sqrt2\approx 2{,}83\ \text{kN}\ \text{(tração)}

A componente horizontal de BC também puxa B para a direita com 2 kN. Assim, BD deve fornecer 4 kN para a esquerda, e a barra BD (não pedida) está comprimida com 4 kN.

Nó D: as forças são a carga de 8 kN para baixo, BD (comprimida, empurra D para a direita com 4 kN) e DE (comprimida, empurra D para cima e para a esquerda com 6 kN em cada componente).

  • Vertical: -8 + 6 - F_{CD}/\sqrt2 = 0. Para fechar o equilíbrio, CD precisa empurrar D para cima com componente de 2 kN, então F_{CD}=2\sqrt2\approx 2{,}83\ \text{kN}, comprimida.
  • Horizontal: 4 - 6 + 2 = 0, o que confere.

O nó C também fecha: na horizontal, -2+6-2-2=0, e na vertical, 2-2=0.

BC = 2\sqrt2\approx 2{,}83 kN (tração); CD = 2\sqrt2\approx 2{,}83 kN (compressão).

Assuntos: Equilíbrio do ponto material, Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas.

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Fonte: IME 2ª fase 2025 · Física. Prova oficial ↗