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Questão 7 (Física) da 2ª fase do IME 2025

Física · Física: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização

Diagrama ilustrando a incidência de luz sobre uma película de espessura h e índice de refração n, depositada sobre uma placa de vidro com índice de refração n'. O raio de luz incidente vem do vácuo (n₀ = 1) com ângulo de incidência θ (com sen(θ) ≈ 0). Há reflexão parcial na superfície superior da película e refração para o interior da película, onde o raio sofre reflexão na interface película-vidro e emerge de volta ao vácuo como luz refletida paralela ao primeiro raio refletido.

Uma onda de luz plana e monocromática propaga-se no vácuo e incide quase perpendicularmente sobre uma película depositada sobre uma placa de vidro. As ondas refletidas pela película e pelo vidro sofrem interferência completamente destrutiva ao retornarem ao vácuo para três valores de comprimento de onda da luz incidente, sendo dois deles conhecidos.

Dados:

• 1o comprimento de onda no vácuo conhecido para a ocorrência de interferência destrutiva: \lambda_1;

• 2o comprimento de onda no vácuo conhecido para a ocorrência de interferência destrutiva: \lambda_2;

• \lambda_1 > \lambda_2;

• índice de refração da película.: n;

• índice de refração do vidro: n';

• n' > n.

Observações:

• o ângulo de incidência pode não corresponder ao da figura meramente ilustrativa;

• o valor do 3o comprimento de onda no vácuo para a ocorrência de interferência destrutiva está entre \lambda_1 e \lambda_2.

Determine:

a) a espessura h da película, indicada na figura, em função dos dados acima listados;

b) o valor do terceiro comprimento de onda para interferência destrutiva;

c) os valores de comprimento de onda no vácuo para o caso de haver interferência construtiva.

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Resolução comentada

a) Como 1 < n < n', as duas reflexões (ar–película e película–vidro) ocorrem de um meio menos refringente para um mais refringente. Ambas invertem a fase da onda em \pi, então a diferença de fase vem só do caminho extra.

Para incidência quase normal, o raio que passa pela película percorre a mais 2h, o que equivale a um caminho óptico 2nh. Interferência destrutiva ocorre quando

2nh=\left(m+\tfrac12\right)\lambda \;\Rightarrow\; \frac1\lambda=\frac{2m+1}{4nh},\quad m=0,1,2,\dots

O terceiro comprimento de onda está entre \lambda_1 e \lambda_2. Então os três são destrutivos consecutivos, de ordens m, m+1 e m+2, e \lambda_1 e \lambda_2 diferem em duas ordens:

\frac1{\lambda_2}-\frac1{\lambda_1}=\frac{(2m+5)-(2m+1)}{4nh}=\frac1{nh}

Isolando h:

h=\frac{\lambda_1\lambda_2}{n(\lambda_1-\lambda_2)}

h =\dfrac{\lambda_1\lambda_2}{n(\lambda_1-\lambda_2)}

b) O terceiro valor tem ordem intermediária, m+1. Como 1/\lambda é proporcional a 2m+1, o seu inverso é a média dos inversos:

\frac1{\lambda_3}=\frac12\left(\frac1{\lambda_1}+\frac1{\lambda_2}\right)\;\Rightarrow\;\lambda_3=\frac{2\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}

\lambda_3=\dfrac{2\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}

c) Com as fases de reflexão iguais, a interferência construtiva exige caminho óptico igual a um número inteiro de comprimentos de onda:

2nh=m\lambda \;\Rightarrow\; \lambda=\frac{2nh}{m}=\frac{2\lambda_1\lambda_2}{m(\lambda_1-\lambda_2)},\quad m=1,2,3,\dots

Na faixa entre \lambda_1 e \lambda_2, há um máximo entre cada par de mínimos consecutivos. Em termos de 1/\lambda, ele fica no ponto médio entre os dois inversos. Os dois valores são:

\frac1\lambda=\frac14\left(\frac3{\lambda_1}+\frac1{\lambda_2}\right)\Rightarrow \lambda=\frac{4\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1+3\lambda_2}
\frac1\lambda=\frac14\left(\frac1{\lambda_1}+\frac3{\lambda_2}\right)\Rightarrow \lambda=\frac{4\lambda_1\lambda_2}{3\lambda_1+\lambda_2}

\lambda=\dfrac{2nh}{m}=\dfrac{2\lambda_1\lambda_2}{m(\lambda_1-\lambda_2)}, com m inteiro positivo. Entre \lambda_1 e \lambda_2 ficam \dfrac{4\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1+3\lambda_2} e \dfrac{4\lambda_1\lambda_2}{3\lambda_1+\lambda_2}.

Assunto: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização.

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Fonte: IME 2ª fase 2025 · Física. Prova oficial ↗