PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 6 (Física) da 2ª fase do IME 2025
Considere um corpo descrevendo uma órbita circular de raio r e velocidade v, resultando num período T, em torno da Terra.
Dados:
• constante universal da gravitação: G;
• massa do corpo: m;
• massa da Terra.: M.
Observação:
• (1 + x)^n \approx 1 + nx, para |x| \ll 1.
Quando o corpo se move para uma órbita circular de raio r + \Delta r, sendo \Delta r \ll r, seu novo período de órbita passa a ser T + \Delta T e sua nova velocidade orbital se torna v + \Delta v.
Determine o valor aproximado:
a) de \Delta T em função de \Delta r e v;
b) de \Delta v em função de \Delta r e T;
c) da energia potencial gravitacional em função de \Delta r, r, G, m e M.
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Resolução comentada
a) Numa órbita circular, a gravidade é a força centrípeta: \dfrac{GMm}{r^2}=\dfrac{mv^2}{r}. Daí v^2=\dfrac{GM}{r}.
O período é T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi r^{3/2}}{\sqrt{GM}}, ou seja, T\propto r^{3/2} (3ª lei de Kepler).
Para o raio r+\Delta r:
Logo \Delta T=\dfrac{3T\,\Delta r}{2r}. Como \dfrac{T}{r}=\dfrac{2\pi}{v}:
\Delta T\approx \dfrac{3\pi\,\Delta r}{v}
b) Como v=\sqrt{GM/r}\propto r^{-1/2}:
Logo \Delta v=-\dfrac{v\,\Delta r}{2r}. Usando \dfrac{v}{r}=\dfrac{2\pi}{T}:
\Delta v\approx -\dfrac{\pi\,\Delta r}{T} (a velocidade diminui quando o raio aumenta).
c) Tomando a energia potencial nula no infinito, na órbita de raio r+\Delta r temos:
Assim, U\approx -\dfrac{GMm}{r}+\dfrac{GMm\,\Delta r}{r^2}. O segundo termo é a variação \Delta U=\dfrac{GMm\,\Delta r}{r^2} em relação à órbita original.
U\approx -\dfrac{GMm}{r}\left(1-\dfrac{\Delta r}{r}\right), isto é, \Delta U\approx \dfrac{GMm\,\Delta r}{r^2}.
Assuntos: Gravitação universal e satélites, Leis de Kepler.
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Fonte: IME 2ª fase 2025 · Física. Prova oficial ↗