Questão 5 (Física) da 2ª fase do IME 2025

Question

Sistema de coordenadas x, y, z e disposição dos fios condutores e partículas. Há uma mola comprimida alinhada ao eixo x empurrando a partícula de massa M em direção à partícula menor de massa m e carga +q, situada na posição (-d, 0, 0). À direita, próximos à origem, dois fios infinitos com correntes de intensidade i dobram-se em ângulos retos: um ao longo de +y e +x, e o outro ao longo de +z e -y.

A figura mostra um esquema contendo um par de fios infinitos dobrados com ângulos retos e duas partículas. Uma mola comprimida impulsiona a partícula maior até que se choque de forma perfeitamente inelástica com a outra partícula menor, carregada eletricamente e inicialmente em repouso.

Dados:
• massa da partícula maior: M;
• massa da partícula menor: m;
• carga da partícula menor: +q;
• posição inicial da partícula menor.: (-d, 0, 0);
• corrente elétrica em cada fio: i;
• energia potencial da mola transferida para a partícula maior: E_p;
• permeabilidade magnética do meio: \mu_0.

Observações:
• a mola e todos os segmentos dos fios são paralelos aos eixos indicados;
• após o choque, as partículas permanecem unidas;
• os dois fios estão muito próximos, mas não se encostam;
• a partícula maior desprende-se da mola ao atingir a maior energia cinética;
• para efeito de cálculo de campo magnético, considere que um fio semi-infinito contribua com a metade do valor do campo produzido por um fio infinito na posição (-d, 0, 0), exceto quando o prolongamento do fio semi-infinito passa pela posição em questão (contribuição nula).

A partir dos dados acima, no instante imediatamente após o choque, determine:

a) o vetor velocidade das partículas;

b) o vetor campo magnético produzido pelo conjunto dos dois fios na posição do choque;

c) o vetor força magnética que age sobre as partículas unidas;

d) o raio de giração do movimento das partículas unidas.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Física) da 2ª fase do IME 2025

Física · Física: Força magnética

Sistema de coordenadas x, y, z e disposição dos fios condutores e partículas. Há uma mola comprimida alinhada ao eixo x empurrando a partícula de massa M em direção à partícula menor de massa m e carga +q, situada na posição (-d, 0, 0). À direita, próximos à origem, dois fios infinitos com correntes de intensidade i dobram-se em ângulos retos: um ao longo de +y e +x, e o outro ao longo de +z e -y.

A figura mostra um esquema contendo um par de fios infinitos dobrados com ângulos retos e duas partículas. Uma mola comprimida impulsiona a partícula maior até que se choque de forma perfeitamente inelástica com a outra partícula menor, carregada eletricamente e inicialmente em repouso.

Dados:
• massa da partícula maior: M;
• massa da partícula menor: m;
• carga da partícula menor: +q;
• posição inicial da partícula menor.: (-d, 0, 0);
• corrente elétrica em cada fio: i;
• energia potencial da mola transferida para a partícula maior: E_p;
• permeabilidade magnética do meio: \mu_0.

Observações:
• a mola e todos os segmentos dos fios são paralelos aos eixos indicados;
• após o choque, as partículas permanecem unidas;
• os dois fios estão muito próximos, mas não se encostam;
• a partícula maior desprende-se da mola ao atingir a maior energia cinética;
• para efeito de cálculo de campo magnético, considere que um fio semi-infinito contribua com a metade do valor do campo produzido por um fio infinito na posição (-d, 0, 0), exceto quando o prolongamento do fio semi-infinito passa pela posição em questão (contribuição nula).

A partir dos dados acima, no instante imediatamente após o choque, determine:

a) o vetor velocidade das partículas;

b) o vetor campo magnético produzido pelo conjunto dos dois fios na posição do choque;

c) o vetor força magnética que age sobre as partículas unidas;

d) o raio de giração do movimento das partículas unidas.

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Resolução comentada

a) Quando a mola solta a partícula maior, toda a energia E_p já virou cinética:

\tfrac12 Mv_0^2=E_p\ \Rightarrow\ v_0=\sqrt{\dfrac{2E_p}{M}}\ \text{(no sentido }+x\text{)}

No choque perfeitamente inelástico a quantidade de movimento se conserva:

Mv_0=(M+m)V\ \Rightarrow\ V=\dfrac{M v_0}{M+m}=\dfrac{\sqrt{2ME_p}}{M+m}

\vec V=\dfrac{\sqrt{2ME_p}}{M+m}\,\hat x

b) Seja P=(-d,0,0) o ponto do choque. Cada fio semi-infinito contribui com B_0=\dfrac{\mu_0 i}{4\pi d}, a metade do campo de um fio infinito. A direção sai da regra da mão direita. Pela figura, as correntes são:

fio 1: vem de +y para a origem (sentido -y) e segue por +x;
fio 2: vem de +z para a origem (sentido -z) e segue por -y.

Contribuições em P:

Trecho +x do fio 1: seu prolongamento passa por P, então a contribuição é nula.
Trecho em y>0 do fio 1 (corrente -y): (-\hat y)\times(-\hat x)=-\hat z, logo -B_0\hat z.
Trecho em z>0 do fio 2 (corrente -z): (-\hat z)\times(-\hat x)=+\hat y, logo +B_0\hat y.
Trecho em y<0 do fio 2 (corrente -y): igual ao item 2, logo -B_0\hat z.

Somando:

\vec B=\dfrac{\mu_0 i}{4\pi d}\left(\hat y-2\hat z\right)

c) A carga das partículas unidas é +q. Usando \vec F=q\vec V\times\vec B, com \hat x\times\hat y=\hat z e \hat x\times\hat z=-\hat y:

\hat x\times(\hat y-2\hat z)=\hat z+2\hat y

\vec F=\dfrac{\mu_0\, i\, q\sqrt{2ME_p}}{4\pi d\,(M+m)}\left(2\hat y+\hat z\right)

d) \vec B tem componentes só em y e z, portanto é perpendicular a \vec V. O movimento é circular, com |\vec B|=\dfrac{\mu_0 i\sqrt5}{4\pi d}. Então:

R=\dfrac{(M+m)V}{q|\vec B|}=\dfrac{\sqrt{2ME_p}}{q}\cdot\dfrac{4\pi d}{\sqrt5\,\mu_0 i}

R=\dfrac{4\pi d\sqrt{2ME_p}}{\sqrt5\,\mu_0\, i\, q}

Assuntos: Força magnética, Colisões, Campo magnético: ímãs e correntes.

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Questão 5 no caderno Física da 2ª fase do IME 2025

Fonte: IME 2ª fase 2025 · Física. Prova oficial ↗