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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Física) da 2ª fase do IME 2025

Física · Física: Movimento harmônico simples e pêndulos

Esquema mostrando uma lente convergente disposta na horizontal com setas nas extremidades, um fio ideal preso ao seu centro sustentando uma partícula esférica de massa m, oscilando ao longo de uma linha tracejada horizontal, com indicação do vetor da gravidade g apontando verticalmente para baixo.

Uma lente convergente está posicionada num plano horizontal e possui, presa a seu centro, um pêndulo composto por um fio ideal e uma partícula de massa m. O movimento da partícula provoca uma oscilação na posição de sua imagem gerada pela lente.

Dados:
• distância focal da lente: 30 cm;
• amplitude horizontal do movimento pendular da partícula.: 4 cm;
• amplitude do movimento da imagem da partícula: 12 cm;
• massa da partícula: 1 kg;
• aceleração da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2;
• \pi \approx 3.

Observação:
• a amplitude do movimento pendular da partícula é pequena a ponto de podermos aproximar sua trajetória a um segmento de reta.

A partir dos dados acima, determine os valores aproximados para:

a) o comprimento do fio;

b) o período de oscilação do pêndulo;

c) a máxima energia cinética atingida pela partícula.

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Resolução comentada

a) O fio está preso ao centro da lente, então o comprimento do fio L é a distância do objeto à lente: p=L. Como a trajetória é aproximada por um segmento de reta horizontal, p não muda durante a oscilação, e o aumento linear transversal é constante:

|A|=\frac{12}{4}=3

Uma lente convergente pode dar dois tipos de imagem ampliada 3 vezes.

  1. Imagem real (invertida): q=3p e

    \frac1f=\frac1p+\frac1{3p}=\frac{4}{3p}\Rightarrow p=\frac{4f}{3}=40\ \text{cm}

  2. Imagem virtual (direita): q=-3p e

    \frac1f=\frac1p-\frac1{3p}=\frac{2}{3p}\Rightarrow p=\frac{2f}{3}=20\ \text{cm}

Portanto L=40\ \text{cm} (imagem real) ou L=20\ \text{cm} (imagem virtual). A seguir resolvo os dois casos.

L=40\ \text{cm} (imagem real) ou L=20\ \text{cm} (imagem virtual).

b) Para pequenas oscilações, T=2\pi\sqrt{L/g}, com \pi\approx3.

  • L=0{,}4\ \text{m}: T=6\sqrt{0{,}04}=6(0{,}2)=1{,}2\ \text{s}.
  • L=0{,}2\ \text{m}: T=6\sqrt{0{,}02}\approx6(0{,}14)\approx0{,}85\ \text{s}.

T\approx1{,}2\ \text{s} (para L=40\ \text{cm}) ou T\approx0{,}85\ \text{s} (para L=20\ \text{cm}).

c) O movimento é aproximadamente um MHS de amplitude A=0{,}04\ \text{m} e \omega^2=g/L. A energia cinética máxima ocorre no ponto mais baixo, onde a velocidade é v_{máx}=\omega A:

E_{c,máx}=\frac12 m\omega^2A^2=\frac12\,m\,\frac gL\,A^2
  • L=0{,}4\ \text{m}: E_{c,máx}=\frac12(1)(25)(0{,}04)^2=0{,}02\ \text{J}.
  • L=0{,}2\ \text{m}: E_{c,máx}=\frac12(1)(50)(0{,}04)^2=0{,}04\ \text{J}.

Conferindo por energia potencial: a altura ganha é h\approx A^2/(2L)=0{,}002\ \text{m} para L=0{,}4\ \text{m}, e mgh=0{,}02\ \text{J}, o que confere.

E_{c,máx}\approx0{,}02\ \text{J} (para L=40\ \text{cm}) ou 0{,}04\ \text{J} (para L=20\ \text{cm}).

Assuntos: Movimento harmônico simples e pêndulos, Energia mecânica e sua conservação, Lentes esféricas.

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Fonte: IME 2ª fase 2025 · Física. Prova oficial ↗