Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do IME 2024

Ideia. Lados opostos são paralelos e lados adjacentes são perpendiculares. Os quatro pontos estão em lados distintos, então eles formam dois pares de lados opostos. Há três emparelhamentos possíveis: \{A,C\},\{B,D\}; \{A,B\},\{C,D\}; \{A,D\},\{B,C\}.

Seja \vec n o vetor unitário normal a um par de lados e \vec m o seu girado de 90^\circ (normal ao outro par). Com \vec p=P_1-P_2 e \vec q=Q_1-Q_2 os vetores que ligam os pontos de cada par, o fato de ser quadrado exige |\vec p\cdot\vec n|=|\vec q\cdot\vec m|. Isso fixa a direção de \vec n (duas possibilidades por emparelhamento). Depois conferimos se todos os pontos ficam dentro da faixa do quadrado: em cada direção, os dois pontos do par devem ser os extremos.

Emparelhamento \{A,C\},\{B,D\}: \vec p=(6,2) e \vec q=(5,-3). A condição dá \vec n\parallel(7,-9) ou \vec n\parallel(1,1).

• Para (7,-9), os valores de 7x-9y são A:-20, B:-40, C:4, D:22. A e C não são os extremos, então não serve.
• Para (1,1), usamos u=x+y e v=y-x:

Os extremos de u são A e C (4 e 12), e os de v são B e D (4 e -4). Os dois intervalos têm comprimento 8, então formam um quadrado. Serve.

Outros emparelhamentos: \{A,B\},\{C,D\} e \{A,D\},\{B,C\} levam a direções (3,1), (1,-1), (5,-7) e (1,1). Em todas, os pontos de um mesmo par não são os extremos da projeção. Por exemplo, em \{A,D\},\{B,C\} com (1,1), C tem u=12, maior que o de D. Nenhuma serve. A solução é única.

Vértices. O quadrado é 4\le x+y\le 12 e -4\le y-x\le 4. Os vértices são as interseções das retas de borda:

• x+y=4 e y-x=-4: (4,0)
• x+y=12 e y-x=-4: (8,4)
• x+y=12 e y-x=4: (4,8)
• x+y=4 e y-x=4: (0,4)

Verificação: A(1,3) está em x+y=4, entre (0,4) e (4,0). B(2,6) está em y-x=4, entre (0,4) e (4,8). C(7,5) está em x+y=12, entre (4,8) e (8,4). D(7,3) está em y-x=-4, entre (4,0) e (8,4). O lado mede 4\sqrt2.

Os vértices são (4,0), (8,4), (4,8) e (0,4).

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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