Questão 8 (Física) da 2ª fase do IME 2024

Question

Figura 1: Fibra ótica circular de raio externo R e raio interno R-a, com espessura a, onde o raio de luz incide perpendicularmente na face inferior tangenciando a curva interna alfa e segue em linha reta até a curva externa beta. Figura 2: Fibra ótica circular similar à da Figura 1, onde o raio de luz incide perpendicularmente tangenciando a curva externa beta por dentro.

Uma fibra ótica tem uma seção transversal de espessura a e possui o formato mostrado nas figuras, onde a curva externa \beta é um arco de 1/4 de circunferência de raio R e a curva interna \alpha é um arco de 1/4 de circunferência de raio R-a. Considere duas situações: na situação da Figura 1, um raio de luz entra na fibra tangenciando a curva \alpha; na situação da Figura 2, um raio de luz entra na fibra tangenciando a curva \beta por dentro.

Dados:
• índice de refração no interior da fibra: n;
• índice de refração do meio externo à fibra: 1;
• velocidade da luz no vácuo: c.

Observação:
• em ambas as situações o raio de luz incide perpendicularmente à superfície da fibra.

Considerando as duas situações, determine:

a) o menor valor de R, em função de a e n, de forma que o raio de luz mostrado na situação da Figura 1 fique confinado e não escape da fibra na primeira incidência na curva \beta;

b) o tempo de viagem do raio de luz confinado à fibra na situação da Figura 2.

Answer 1

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Questão 8 (Física) da 2ª fase do IME 2024

Física · Física: Reflexão total e dispersão da luz

Figura 1: Fibra ótica circular de raio externo R e raio interno R-a, com espessura a, onde o raio de luz incide perpendicularmente na face inferior tangenciando a curva interna alfa e segue em linha reta até a curva externa beta. Figura 2: Fibra ótica circular similar à da Figura 1, onde o raio de luz incide perpendicularmente tangenciando a curva externa beta por dentro.

Uma fibra ótica tem uma seção transversal de espessura a e possui o formato mostrado nas figuras, onde a curva externa \beta é um arco de 1/4 de circunferência de raio R e a curva interna \alpha é um arco de 1/4 de circunferência de raio R-a. Considere duas situações: na situação da Figura 1, um raio de luz entra na fibra tangenciando a curva \alpha; na situação da Figura 2, um raio de luz entra na fibra tangenciando a curva \beta por dentro.

Dados:
• índice de refração no interior da fibra: n;
• índice de refração do meio externo à fibra: 1;
• velocidade da luz no vácuo: c.

Observação:
• em ambas as situações o raio de luz incide perpendicularmente à superfície da fibra.

Considerando as duas situações, determine:

a) o menor valor de R, em função de a e n, de forma que o raio de luz mostrado na situação da Figura 1 fique confinado e não escape da fibra na primeira incidência na curva \beta;

b) o tempo de viagem do raio de luz confinado à fibra na situação da Figura 2.

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Resolução comentada

a)

O raio entra perpendicular à face inferior, então segue em linha reta, na vertical. Como tangencia \alpha, essa reta passa a uma distância R-a do centro das circunferências.

No ponto em que atinge \beta, a normal é a direção radial. O ângulo de incidência \theta é o ângulo entre a reta do raio e o raio da circunferência. No triângulo retângulo formado pelo centro, pelo pé da perpendicular e pelo ponto de incidência, o cateto oposto a \theta vale R-a e a hipotenusa vale R:

\sen\theta=\frac{R-a}{R}

Para não escapar, é preciso reflexão total, ou seja, \theta\ge\theta_L. Da lei de Snell, com o meio externo de índice 1, o ângulo limite é dado por \sen\theta_L=\dfrac{1}{n}.

\frac{R-a}{R}\ge\frac1n \;\Rightarrow\; R\left(1-\frac1n\right)\ge a \;\Rightarrow\; R\ge\frac{na}{n-1}

O menor valor de R corresponde à igualdade.

R_{\min}=\dfrac{na}{n-1}

b)

Na Figura 2 o raio entra tangenciando \beta por dentro. Ele incide em \beta com ângulo de 90^\circ (incidência rasante), que é maior que qualquer ângulo limite, pois \sen\theta_L=1/n<1. Há reflexão total em todas as incidências. Idealizando, o raio acompanha a parede externa e percorre o arco de 1/4 de circunferência de raio R:

d=\frac{2\pi R}{4}=\frac{\pi R}{2}

Dentro da fibra a velocidade da luz é v=\dfrac{c}{n}. Então:

t=\frac{d}{v}=\frac{\pi R/2}{c/n}=\frac{\pi nR}{2c}

t=\dfrac{\pi nR}{2c}

Assuntos: Reflexão total e dispersão da luz, Refração da luz e lei de Snell.

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Questão 8 no caderno Física da 2ª fase do IME 2024

Fonte: IME 2ª fase 2024 · Física. Prova oficial ↗