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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Física) da 2ª fase do IME 2024

Física · Física: Potencial elétrico e energia potencial elétrica

Figura 1: duas esferas condutoras A e B conectadas por um fio condutor ideal e longo, com a esfera B conectada ao solo através de um fio condutor de aterramento com corrente i(t).

Figura 2: gráfico da corrente i(t) versus tempo t, mostrando um decaimento linear de i0 em t0 até i1 em t1.

Duas esferas condutoras A e B, inicialmente isoladas, com cargas positivas Q_A e Q_B e raios R_A e R_B, são ligadas por meio de um fio condutor ideal e longo. Depois do sistema entrar em equilíbrio eletrostático, outro fio condutor, com pequena resistência elétrica, é conectado à esfera B no instante t = t_0 e o sistema é aterrado, conforme mostra a figura acima à esquerda. Durante o período em que o sistema permanece aterrado, circula pelo fio condutor de aterramento a corrente i(t) variante com o tempo mostrada no gráfico à direita. Em t = t_1, o fio de aterramento é desconectado e, depois do sistema entrar novamente em equilíbrio eletrostático, o fio condutor que conecta as duas esferas é retirado.

Dados:

  • carga da esfera A: Q_A = 6\text{ C};
  • carga da esfera B: Q_B = 4\text{ C};
  • raio da esfera A: R_A = 2\text{ m};
  • raio da esfera B: R_B = 1\text{ m};
  • corrente i_0: 5\text{ A};
  • corrente i_1: 3\text{ A};
  • instante de tempo t_0: 0\text{ s};
  • instante de tempo t_1: 1{,}5\text{ s}.

Diante do exposto, determine:

a) a densidade superficial de carga de cada esfera depois que são conectadas e antes do aterramento;

b) a soma das cargas das esferas A e B após o fio de aterramento ter sido desconectado em t = t_1;

c) a carga da esfera A depois do fio condutor que conecta as duas esferas ter sido retirado.

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Resolução comentada

a) Ligadas pelo fio condutor, as esferas ficam com o mesmo potencial. Cada esfera se comporta como uma carga puntual no centro, com V=\frac{kQ}{R}, então:

\frac{Q_A'}{R_A}=\frac{Q_B'}{R_B}\Rightarrow Q_A'=2Q_B'

A carga total se conserva: Q_A'+Q_B'=6+4=10\ \text{C}. Logo Q_A'=\frac{20}{3}\ \text{C} e Q_B'=\frac{10}{3}\ \text{C}.

A densidade superficial é \sigma=\frac{Q}{4\pi R^2}:

\sigma_A=\frac{20/3}{4\pi\cdot 4}=\frac{5}{12\pi}\ \text{C/m}^2\approx 0{,}13\ \text{C/m}^2
\sigma_B=\frac{10/3}{4\pi\cdot 1}=\frac{5}{6\pi}\ \text{C/m}^2\approx 0{,}27\ \text{C/m}^2

A esfera menor tem densidade maior, o dobro da maior.

Resposta: \sigma_A=\frac{5}{12\pi}\ \text{C/m}^2 e \sigma_B=\frac{5}{6\pi}\ \text{C/m}^2.

b) A carga que escoa para o solo é a área sob o gráfico i\times t, que é um trapézio:

\Delta Q=\frac{(i_0+i_1)}{2}(t_1-t_0)=\frac{5+3}{2}\cdot 1{,}5=6\ \text{C}

A corrente no sentido esfera → solo retira carga positiva do sistema. A carga total restante é:

Q_A+Q_B=10-6=4\ \text{C}

Resposta: 4\ \text{C}.

c) Depois de desconectado o aterramento, as esferas ainda estão ligadas entre si. As cargas se redistribuem até o potencial ser igual, mantendo a razão Q_A=2Q_B do item (a), pois ela depende só dos raios. A soma é 4\ \text{C}:

Q_A=\frac{2}{3}\cdot 4=\frac{8}{3}\ \text{C}\qquad Q_B=\frac{4}{3}\ \text{C}

Ao retirar o fio, cada esfera mantém sua carga.

Resposta: Q_A=\frac{8}{3}\ \text{C}\approx 2{,}67\ \text{C}.

Assuntos: Potencial elétrico e energia potencial elétrica, Carga elétrica e processos de eletrização, Corrente elétrica.

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Fonte: IME 2ª fase 2024 · Física. Prova oficial ↗