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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Física) da 2ª fase do IME 2024

Física · Física: Força magnética

Fios paralelos conduzindo correntes elétricas no sentido positivo de y e uma chapa de largura L sobre o eixo x movendo-se com velocidade v na direção y.

Fios infinitos no plano xy são paralelos ao eixo y e conduzem correntes elétricas nos sentidos desenhados na figura de tal forma que o módulo do campo magnético na superfície de uma chapa metálica de carga total nula seja aproximadamente B(x) = C-Kx, onde C e K são constantes positivas.

A chapa movimenta-se com velocidade constante na direção y mantendo-se no plano xy e induzindo assim o deslocamento de elétrons livres na chapa até que campos elétricos estacionários ao longo do eixo x sejam criados para que o equilíbrio eletrostático seja alcançado.

Dados:

  • largura da chapa: L;
  • C > K.L;
  • velocidade da chapa: v, no sentido positivo de y;
  • correntes nos fios: i_1, i_2, ... i_n;
  • distâncias dos fios ao eixo y: d_1, d_2, ..., d_n;
  • posições dos fios: à esquerda do eixo;
  • permeabilidade magnética do meio: \mu_0.

Diante do exposto e justificando todas as respostas, determine:

a) para que lado da chapa (direito ou esquerdo) haverá maior deslocamento de elétrons;

b) a expressão do módulo do campo elétrico E(x) induzido na chapa no equilíbrio eletrostático em função da posição x;

c) o módulo da diferença de potencial elétrico entre as posições x = 0 e x = L;

d) a relação entre a constante C (campo magnético em x = 0) e as correntes e distâncias listadas nos dados acima.

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Resolução comentada

a) Os fios estão à esquerda da chapa e a corrente é no sentido +y. Pela regra da mão direita, o campo de cada fio na região da chapa aponta para dentro do plano (-z), e seu módulo diminui com x, como em B=C-Kx.

Cada elétron da chapa se move com \vec v = v\,\hat y, então a força magnética sobre ele é:

\vec F=q\,\vec v\times\vec B=(-e)(v\,\hat y)\times(-B\,\hat z)=+e\,v\,B\,\hat x

A força aponta para +x, de modo que os elétrons livres são empurrados para o lado direito. Esse lado fica negativo e o esquerdo fica positivo, pois a carga total é nula.

Os elétrons se deslocam para o lado direito da chapa.

b) No equilíbrio eletrostático, a força elétrica cancela a magnética em cada posição x, de modo que não há mais corrente:

eE(x)=e\,v\,B(x)\;\Rightarrow\;E(x)=v\,B(x)

O campo elétrico aponta para +x, do lado positivo (esquerdo) para o negativo (direito). Ele empurra os elétrons para a esquerda, contra a força magnética.

E(x)=v\,(C-Kx)

c) O campo é ao longo de x, então a diferença de potencial é a integral de E entre 0 e L:

|\Delta V|=\int_0^L v\,(C-Kx)\,dx=v\left(CL-\frac{KL^2}{2}\right)

A condição C>KL garante B>0 em toda a chapa, de modo que E não muda de sinal. O potencial é maior em x=0 (lado esquerdo).

|\Delta V|=v\left(CL-\dfrac{KL^2}{2}\right)

d) Cada fio k cria, em x, um campo de módulo \dfrac{\mu_0 i_k}{2\pi\,(d_k+x)}, porque a distância ao fio é d_k+x. Todos os campos têm o mesmo sentido, então se somam. Em x=0, o campo total é B(0)=C:

C=\sum_{k=1}^{n}\frac{\mu_0\,i_k}{2\pi\,d_k}

C=\dfrac{\mu_0}{2\pi}\left(\dfrac{i_1}{d_1}+\dfrac{i_2}{d_2}+\dots+\dfrac{i_n}{d_n}\right)

Assuntos: Força magnética, Campo magnético: ímãs e correntes.

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Fonte: IME 2ª fase 2024 · Física. Prova oficial ↗