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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Física) da 2ª fase do IME 2024

Física · Física: Plano inclinado

Plano inclinado de ângulo $\theta$ imerso em um tanque de água, contendo no topo um bloco de massa $m$, uma primeira seção sem atrito de comprimento $d$, uma segunda seção com atrito de comprimento $d$ e, na base, uma mola de constante elástica $k$.

A figura ilustra um plano inclinado fazendo um ângulo \theta com a horizontal. O plano encontra-se dentro de um tanque contendo água, onde também estão um bloco de massa m e uma mola de constante elástica k, inicialmente relaxada. O bloco parte do repouso a uma distância 2d da mola. Na primeira metade do percurso, não há atrito. Após essa parte, a superfície do plano passa a apresentar atrito. Ao atingir a mola, o bloco passa a mover-se solidariamente a ela.

Dados:

  • aceleração da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2;
  • massa do bloco: m = 0{,}1\text{ kg};
  • volume do bloco: V = 0{,}05\text{ L};
  • coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície: \mu_c = 1/3;
  • constante elástica da mola: k = 6{,}2\text{ N/m};
  • distância d = 4\text{ m};
  • massa específica da água: \mu_a = 1\text{ g/cm}^3;
  • \operatorname{sen}(\theta) = 0{,}8.

Observação:

  • com relação à água, considere apenas a força de empuxo.

Considerando a situação descrita, determine:

a) o módulo da velocidade do bloco ao alcançar a superfície com atrito;

b) o módulo da velocidade do bloco ao atingir a mola;

c) a máxima compressão da mola.

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Resolução comentada

a) Primeiro, as forças que importam. O empuxo vale E=\mu_a V g=1000\cdot 5\times10^{-5}\cdot 10=0{,}5\ \text{N} (com V=0{,}05\ \text{L}=5\times10^{-5}\ \text{m}^3). O peso vale P=mg=1\ \text{N}. O peso aparente é P-E=0{,}5\ \text{N}.

Na parte sem atrito, a força resultante ao longo do plano é

F=(P-E)\,\text{sen}\,\theta=0{,}5\cdot0{,}8=0{,}4\ \text{N}\;\Rightarrow\; a=\frac{0{,}4}{0{,}1}=4\ \text{m/s}^2.

O bloco parte do repouso e percorre d=4\ \text{m}:

v_1^2=2ad=2\cdot4\cdot4=32\;\Rightarrow\; v_1=4\sqrt2\approx5{,}7\ \text{m/s}.

Resposta: v_1=4\sqrt2\ \text{m/s}\approx5{,}7\ \text{m/s}

b) Na parte com atrito, a normal equilibra a componente do peso aparente perpendicular ao plano, com \cos\theta=0{,}6:

N=(P-E)\cos\theta=0{,}5\cdot0{,}6=0{,}3\ \text{N}.

O atrito cinético vale f=\mu_c N=\frac13\cdot0{,}3=0{,}1\ \text{N}.

A força resultante é 0{,}4-0{,}1=0{,}3\ \text{N}, então a'=3\ \text{m/s}^2. Em mais d=4\ \text{m}:

v_2^2=v_1^2+2a'd=32+2\cdot3\cdot4=56\;\Rightarrow\; v_2=2\sqrt{14}\approx7{,}5\ \text{m/s}.

Resposta: v_2=2\sqrt{14}\ \text{m/s}\approx7{,}5\ \text{m/s}

c) Pela figura, a faixa com atrito se estende até a base, passando sob a mola. Assim, durante a compressão x o atrito continua atuando, com 0{,}1\ \text{N}.

Pelo balanço de energia entre o contato com a mola e a compressão máxima, em que o bloco para, a energia cinética mais o trabalho da componente do peso aparente menos o trabalho do atrito vira energia elástica:

\tfrac12 m v_2^2+0{,}4\,x-0{,}1\,x=\tfrac12 k x^2.

Com \tfrac12 m v_2^2=\tfrac12\cdot0{,}1\cdot56=2{,}8\ \text{J} e \tfrac12k=3{,}1:

3{,}1x^2-0{,}3x-2{,}8=0.
x=\frac{0{,}3+\sqrt{0{,}09+34{,}72}}{6{,}2}=\frac{0{,}3+5{,}9}{6{,}2}=1\ \text{m}.

Resposta: x_{\max}=1\ \text{m}

Assuntos: Plano inclinado, Energia mecânica e sua conservação, Empuxo e princípio de Arquimedes.

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Fonte: IME 2ª fase 2024 · Física. Prova oficial ↗