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Questão 9 (Física) da 2ª fase do IME 2023

Física · Física: Equilíbrio do ponto material

Ilustração tridimensional de um reservatório retangular de água apoiado sobre duas treliças planas verticais idênticas e paralelas. O reservatório tem comprimento cotado em 5 m. As treliças possuem altura de 2 m e base dividida em quatro segmentos horizontais de 2 m cada (totalizando 8 m). As extremidades inferiores das treliças estão apoiadas sobre suportes triangulares. As barras verticais conectam a base às junções superiores que suportam o reservatório, e as barras diagonais conectam os apoios inferiores aos nós superiores externos.

Um reservatório com 4 m x 5 m de base retangular contém 1000 L de água. Duas treliças iguais em planos paralelos verticais o sustentam na configuração mostrada na figura acima, por meio de quatro apoios que estão representados por pequenos triângulos. No instante t = 0, a água passa a entrar no reservatório a uma vazão de 2\text{ m}^3\text{/min}.

Dados:
• área transversal de cada barra das treliças: 0{,}04\text{ m}^2;
• pressão de ruptura de cada barra das treliças: 1\text{ MPa};
• \sqrt{2} \approx 1{,}4;
• aceleração da gravidade: 10\text{ m/s}^2;
• massa específica da água: 1000\text{ kg/m}^3;

Observações:
• os quatro apoios do reservatório de água estão num mesmo plano horizontal;
• as paredes laterais do reservatório de água estão contidas em planos verticais;
• despreze o peso do reservatório;
• a pressão em cada barra das treliças é constante em sua área;
• cada treliça é indeformável e apenas pode se romper quando alguma pressão de ruptura for atingida.

Mediante os dados apresentados, determine:

a) o módulo da tensão em cada uma das barras das treliças na iminência do primeiro rompimento de barra devido ao aumento do peso acumulado no reservatório;

b) o instante t em que ocorre o primeiro rompimento de barra.

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Resolução comentada

a) O peso total W se divide igualmente entre os quatro apoios, e cada apoio recebe R=W/4. Em cada apoio concorrem só duas barras: a diagonal a 45^\circ e a barra horizontal da base. Por isso a componente vertical da diagonal tem de equilibrar R:

F_d\,\sen 45^\circ=R \Rightarrow F_d=\sqrt2\,R

A horizontal da diagonal é F_d\cos45^\circ=R. Ela é equilibrada pela barra inferior externa, que fica tracionada com R.

O painel central não tem diagonal, então não transmite esforço cortante. Assim o peso é descarregado nos nós superiores externos, e as barras verticais não ficam tensionadas (F=0). No nó superior externo, a diagonal comprime com \sqrt2R e as barras horizontais da base e do topo ficam com R.

A diagonal é a barra mais carregada, então é a primeira a romper. Na ruptura, a força é igual à pressão de ruptura vezes a área:

F_{rup}=1\times10^{6}\cdot0{,}04=4\times10^{4}\ \text{N}

Logo, na iminência do rompimento:

  1. Diagonais (compressão): F_d=40\ \text{kN}, ou seja, 1\ \text{MPa}.
  2. Barras horizontais, de topo e de base (as de topo comprimidas e as de base tracionadas): R=\dfrac{40}{1{,}4}\approx28{,}6\ \text{kN}, ou seja, \approx0{,}71\ \text{MPa}.
  3. Barras verticais: 0.

Diagonais: 40\ \text{kN}; barras horizontais: \approx28{,}6\ \text{kN}; verticais: 0.

b) Na ruptura, \sqrt2\,\dfrac W4=4\times10^4\ \text{N}. Então:

W=\frac{1{,}6\times10^{5}}{1{,}4}\approx1{,}14\times10^{5}\ \text{N}

A massa de água é m=W/g\approx1{,}14\times10^{4}\ \text{kg}. Com \rho=1000\ \text{kg/m}^3, o volume é:

V=\frac{1{,}14\times10^{4}}{1000}\approx11{,}4\ \text{m}^3

O reservatório já tinha 1\ \text{m}^3 (1000\ \text{L}) e recebe 2\ \text{m}^3 por minuto. Então:

V=1+2t \Rightarrow t=\frac{11{,}4-1}{2}\approx5{,}2\ \text{min}

t\approx5{,}2\ \text{min} (cerca de 5 min 13 s).

Assuntos: Equilíbrio do ponto material, Densidade e pressão.

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Fonte: IME 2ª fase 2023 · Física. Prova oficial ↗