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Questão 10 (Física) da 2ª fase do IME 2023

Física · Física: Gravitação universal e satélites

Planeta esférico de raio R com cavidade esférica interna; são indicados o raio interno r₁, o raio de uma órbita interna r₂, o raio do planeta R e o raio de uma órbita externa tracejada r₃.

A figura acima ilustra um planeta esférico hipotético de raio R e massa M uniformemente distribuída em seu volume.

Seja um corpo de massa m que possa ser movimentado por meio de motores.

Em uma primeira etapa A, o corpo descreve uma órbita circular de raio r_2 em uma cavidade estreita no interior do planeta.

Em uma etapa B, os motores do corpo são acionados para transportá-lo, através de uma passagem não representada na figura acima, da órbita circular de raio r_2 para a órbita circular de raio r_3.

Em uma etapa C, o corpo descreve uma órbita circular de raio r_3.

Dado:

  • constante universal da gravitação: G.

Observações:

  • despreze o atrito agindo no movimento do corpo;
  • para efeitos gravitacionais, despreze a falta de massa na cavidade de raio r_2.

Diante do exposto, determine:

a) o trabalho realizado pela força gravitacional para o corpo dar uma volta pela órbita circular de raio r_2 durante a etapa A;

b) a velocidade de órbita do corpo durante a etapa A;

c) o trabalho realizado pelos motores para cumprir a etapa B, ou seja, mudar a trajetória do corpo da órbita circular de raio r_2 para a órbita circular de raio r_3;

d) o período para completar uma volta em torno do planeta durante a etapa C.

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Resolução comentada

a) Na órbita circular, a força gravitacional aponta para o centro e a velocidade é tangente à trajetória. Os dois vetores são perpendiculares em todo instante, então \vec F\cdot d\vec s=0 e o trabalho da força gravitacional é nulo em qualquer trecho, inclusive em uma volta completa.

W_{grav}=0

b) Como se despreza a falta de massa da cavidade, a densidade é uniforme: \rho=\dfrac{M}{\frac43\pi R^3}. Pelo teorema das cascas esféricas, a casca externa ao raio r_2 não exerce força resultante. Só a massa contida na esfera de raio r_2 atua:

M_{int}=M\dfrac{r_2^3}{R^3}\quad\Rightarrow\quad F=\dfrac{G M_{int}m}{r_2^2}=\dfrac{GMm\,r_2}{R^3}

A força gravitacional é a resultante centrípeta:

\dfrac{mv^2}{r_2}=\dfrac{GMm\,r_2}{R^3}\Rightarrow v=r_2\sqrt{\dfrac{GM}{R^3}}

v=r_2\sqrt{\dfrac{GM}{R^3}}

c) Não há atrito, então o trabalho dos motores é a variação da energia mecânica: W_{mot}=E_3-E_2. Considero r_3>R.

  1. Energia cinética em r_2, usando o resultado do item b: K_2=\dfrac{GMm\,r_2^2}{2R^3}.
  2. Energia potencial no interior (zero no infinito). Fora do planeta, U=-\dfrac{GMm}{r}. Dentro, a força é -\dfrac{GMm\,r}{R^3}, e integrando de r até R obtém-se U(r)=-\dfrac{GMm}{2R^3}(3R^2-r^2). Em r_2: U_2=-\dfrac{GMm(3R^2-r_2^2)}{2R^3}.
  3. Energia mecânica em r_2: E_2=K_2+U_2=\dfrac{GMm(2r_2^2-3R^2)}{2R^3}.
  4. Em r_3, fora do planeta, a órbita circular tem v_3^2=\dfrac{GM}{r_3}. Então E_3=\dfrac{GMm}{2r_3}-\dfrac{GMm}{r_3}=-\dfrac{GMm}{2r_3}.

Logo:

W_{mot}=E_3-E_2=\dfrac{GMm}{2}\left[\dfrac{3R^2-2r_2^2}{R^3}-\dfrac1{r_3}\right]

Verificação: com r_2=r_3=R o resultado é zero, como esperado.

W_{mot}=\dfrac{GMm}{2}\left(\dfrac{3R^2-2r_2^2}{R^3}-\dfrac1{r_3}\right)

d) Em r_3 o corpo está fora do planeta, e a massa M se comporta como pontual no centro:

\dfrac{mv_3^2}{r_3}=\dfrac{GMm}{r_3^2}\Rightarrow v_3=\sqrt{\dfrac{GM}{r_3}}
T=\dfrac{2\pi r_3}{v_3}=2\pi\sqrt{\dfrac{r_3^3}{GM}}

T=2\pi\sqrt{\dfrac{r_3^3}{GM}}

Assunto: Gravitação universal e satélites.

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Fonte: IME 2ª fase 2023 · Física. Prova oficial ↗