Questão 5 (Física) da 2ª fase do IME 2023

Question

Em uma experiência de campo, uma fonte sonora é deixada cair de um helicóptero a velocidade inicial nula. Um observador situado a uma distância desprezível do ponto de impacto no solo usa um instrumento para registrar a frequência da onda emitida pela fonte. Antes de a fonte atingir o solo, a frequência medida aumenta a princípio, mas depois se torna constante dentro do limite de precisão do instrumento.

Dados:

massa da fonte sonora: m;
frequência da fonte sonora: f_0;
frequência máxima captada pelo instrumento do observador: f_1;
velocidade local do som: v_s;
aceleração da gravidade: g.

Supondo que a força de arrasto que o ar exerce sobre a fonte sonora é dada por F = cv^2, no sentido oposto ao do movimento, em que c é uma constante a ser calculada e v é a velocidade escalar instantânea da fonte:

a) Determine a velocidade máxima da fonte medida pelo observador em função dos dados listados acima.

b) Determine o valor da constante c.

c) Ao tentar exprimir a velocidade v em função do tempo t, em que t = 0 é o instante em que a fonte deixa o repouso, indique quais das cinco funções abaixo, em que k_1 e k_2 são constantes positivas, não servem como aproximações de v(t) por serem inconsistentes no início e na estabilização da velocidade.

v(t) \approx f_1(t) = \frac{k_1 t}{1 + k_2 t}

v(t) \approx f_2(t) = \frac{k_1 t^2}{1 + k_2 t}

v(t) \approx f_3(t) = \frac{k_1}{1 + k_2 t}

v(t) \approx f_4(t) = k_1 (1 - e^{-t/k_2})

v(t) \approx f_5(t) = \frac{k_1 (1 - e^{-t/k_2})}{1 + e^{-t/k_2}}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Física) da 2ª fase do IME 2023

Física · Física: Efeito Doppler

Em uma experiência de campo, uma fonte sonora é deixada cair de um helicóptero a velocidade inicial nula. Um observador situado a uma distância desprezível do ponto de impacto no solo usa um instrumento para registrar a frequência da onda emitida pela fonte. Antes de a fonte atingir o solo, a frequência medida aumenta a princípio, mas depois se torna constante dentro do limite de precisão do instrumento.

Dados:

massa da fonte sonora: m;
frequência da fonte sonora: f_0;
frequência máxima captada pelo instrumento do observador: f_1;
velocidade local do som: v_s;
aceleração da gravidade: g.

Supondo que a força de arrasto que o ar exerce sobre a fonte sonora é dada por F = cv^2, no sentido oposto ao do movimento, em que c é uma constante a ser calculada e v é a velocidade escalar instantânea da fonte:

a) Determine a velocidade máxima da fonte medida pelo observador em função dos dados listados acima.

b) Determine o valor da constante c.

c) Ao tentar exprimir a velocidade v em função do tempo t, em que t = 0 é o instante em que a fonte deixa o repouso, indique quais das cinco funções abaixo, em que k_1 e k_2 são constantes positivas, não servem como aproximações de v(t) por serem inconsistentes no início e na estabilização da velocidade.

v(t) \approx f_1(t) = \frac{k_1 t}{1 + k_2 t}

v(t) \approx f_2(t) = \frac{k_1 t^2}{1 + k_2 t}

v(t) \approx f_3(t) = \frac{k_1}{1 + k_2 t}

v(t) \approx f_4(t) = k_1 (1 - e^{-t/k_2})

v(t) \approx f_5(t) = \frac{k_1 (1 - e^{-t/k_2})}{1 + e^{-t/k_2}}

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Resolução comentada

a) A fonte cai em direção ao observador, que está praticamente no ponto de impacto. Ela é uma fonte que se aproxima de um observador parado, então vale o efeito Doppler:

f=f_0\,\frac{v_s}{v_s-v}

A fonte acelera a partir do repouso, e a frequência medida aumenta junto com v. Quando a velocidade se estabiliza (velocidade terminal), a frequência também fica constante e igual ao máximo, f_1:

f_1=f_0\,\frac{v_s}{v_s-v_{max}}\Rightarrow v_s-v_{max}=\frac{f_0 v_s}{f_1}

v_{max}=v_s\left(1-\frac{f_0}{f_1}\right)

v_{max}=v_s\left(1-\dfrac{f_0}{f_1}\right)=\dfrac{v_s(f_1-f_0)}{f_1}

b) Na velocidade terminal a aceleração é nula, então o arrasto equilibra o peso:

mg=c\,v_{max}^2\Rightarrow c=\frac{mg}{v_{max}^2}

Substituindo o resultado do item (a):

c=\frac{mg\,f_1^2}{v_s^2\,(f_1-f_0)^2}

c=\dfrac{m\,g\,f_1^2}{v_s^2\,(f_1-f_0)^2}

c) A função v(t) precisa satisfazer duas condições: v(0)=0, porque a fonte parte do repouso, e v(t) tende a um valor finito constante (a velocidade terminal) quando t\to\infty.

f_1: f_1(0)=0 e f_1\to k_1/k_2. É consistente.
f_2: f_2(0)=0, mas para t grande f_2\approx k_1t/k_2, que cresce sem limite. Não estabiliza, então é inconsistente.
f_3: f_3(0)=k_1\neq0, e f_3\to0 para t grande. Falha nas duas condições, então é inconsistente.
f_4: f_4(0)=0 e f_4\to k_1. É consistente.
f_5: f_5(0)=0 e f_5\to k_1. É consistente. Ela equivale a k_1\,\mathrm{tgh}\!\left(\dfrac{t}{2k_2}\right), que é a forma da solução exata para arrasto quadrático.

Não servem f_2 e f_3.

Assuntos: Efeito Doppler, Atrito e resistência do ar.

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Questão 5 no caderno Física da 2ª fase do IME 2023

Fonte: IME 2ª fase 2023 · Física. Prova oficial ↗