PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (Física) da 2ª fase do IME 2023
A figura mostra três roldanas ideais presas ao teto por hastes verticais e três partículas carregadas eletricamente. De acordo com a geometria apresentada, duas partículas de carga negativa -Q estão penduradas por um fio ideal e uma terceira partícula de carga positiva desconhecida +q está fixada ao centro da roldana maior por uma quarta haste. Todas as partículas estão sujeitas a um campo elétrico uniforme vertical provocado por um plano infinito horizontal uniformemente carregado positivamente.
Dados:
• massa de cada partícula: m;
• raios das roldanas: r, 2r e r;
• módulo do campo elétrico: E.
Observações:
• todos os quatro segmentos do fio desenrolados das roldanas estão na direção vertical;
• as roldanas e as partículas estão num mesmo plano;
• as três partículas estão inicialmente em equilíbrio na mesma reta paralela ao plano horizontal;
• os efeitos gravitacionais e as massas das roldanas e das hastes são desprezíveis;
• não há atrito entre o fio e as roldanas;
• o fio que passa pelas roldanas é inextensível e isolante.
Diante do exposto, determine:
a) o valor da carga q, em função de Q, para que o sistema fique na condição de equilíbrio imposta;
b) a força de reação na haste vertical central na condição do sistema em equilíbrio, em função de E e Q;
c) as acelerações de cada partícula imediatamente após uma eventual ruptura da haste que sustenta a roldana central, em função de E, m e Q;
d) a força de reação nas hastes laterais imediatamente após uma eventual ruptura da haste central.
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Resolução comentada
a) O campo \vec E é vertical, então as forças elétricas do campo não interferem na horizontal. Os fios são verticais, e por isso nada mais pode equilibrar uma força horizontal sobre as cargas -Q. Essa força vem da interação entre as próprias partículas, alinhadas e separadas por uma distância d (por simetria, a mesma entre a central e cada lateral).
Na carga -Q da esquerda:
- a carga +q a atrai, para a direita, com \dfrac{kQq}{d^2};
- a outra carga -Q, a 2d, a repele, para a esquerda, com \dfrac{kQ^2}{(2d)^2}.
A resultante horizontal deve ser nula:
q=Q/4
b) Cada carga -Q sofre força elétrica QE para baixo (a placa é positiva e o campo aponta para cima). Na carga lateral, a tração no fio é T=QE.
Na roldana central, o fio passa por baixo dela e puxa para cima com 2T=2QE. A carga +q, presa à roldana, sofre qE=\dfrac{QE}{4} para cima. As forças horizontais de Coulomb sobre +q se cancelam por simetria. As massas das roldanas e da haste são desprezíveis, assim como o peso.
A haste central deve equilibrar o conjunto com uma força para baixo:
A haste fica comprimida, pois a roldana a empurra para cima.
F=\dfrac{9QE}{4} (vertical, a haste é comprimida)
c) Rompida a haste central, as posições ainda não mudaram. Por isso, no primeiro instante, as forças horizontais continuam equilibradas e o movimento é só vertical.
O fio é inextensível. Se as duas massas descem com aceleração a, o trecho do fio sob a roldana central encurta, e a roldana com +q sobe com a mesma aceleração a. Adote T como tração e escreva as equações:
- Cada massa -Q, descendo: QE-T=ma.
- Conjunto central (roldana ideal + carga +q, massa m), subindo: qE+2T-0=ma.
Da equação 1, T=QE-ma. Substituindo na 2:
A tração vale T=QE-\dfrac{3QE}{4}=\dfrac{QE}{4}.
As duas partículas -Q descem com a=\dfrac{3QE}{4m}, e a partícula +q sobe com a=\dfrac{3QE}{4m}.
d) Cada roldana lateral é ideal, com massa desprezível. O fio passa por ela com os dois ramos verticais para baixo, cada um com tração T=\dfrac{QE}{4}, o valor obtido no item c. A haste equilibra a roldana:
A haste lateral é tracionada, pois sustenta a roldana por cima.
F_{lat}=\dfrac{QE}{2}, vertical, para cima sobre a roldana (tração na haste)
Assuntos: Força elétrica e lei de Coulomb, Equilíbrio do ponto material.
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Fonte: IME 2ª fase 2023 · Física. Prova oficial ↗