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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Matemática) da 2ª fase do IME 2023

Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Determine o(s) valor(es) real(ais) de x tal(is) que

x = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & x \end{vmatrix}
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Resolução comentada

a) A matriz é tridiagonal: a diagonal principal vale 2,2,2,2,x e as diagonais vizinhas valem -1. Para esse tipo de matriz, o determinante segue uma recorrência pela expansão na última linha.

Seja D_k o determinante da matriz k\times k de mesmo padrão, com todos os elementos da diagonal iguais a 2. Expandindo pela última linha, obtemos

D_k = 2D_{k-1} - (-1)(-1)D_{k-2} = 2D_{k-1} - D_{k-2},

com D_0=1 e D_1=2.

  1. D_2 = 2\cdot 2 - 1 = 3
  2. D_3 = 2\cdot 3 - 2 = 4
  3. D_4 = 2\cdot 4 - 3 = 5

(Em geral, D_k=k+1.)

O determinante 5\times5 do enunciado tem a mesma estrutura, mas o último elemento da diagonal é x em vez de 2. Expandindo pela última linha:

\Delta = x\cdot D_4 - (-1)(-1)\cdot D_3 = 5x - 4.

A equação do enunciado fica

x = 5x - 4 \;\Longrightarrow\; 4x = 4 \;\Longrightarrow\; x = 1.

Cheque: para x=1, \Delta = 5-4 = 1 = x. ✔

x = 1 (único valor)

Assuntos: Matrizes e determinantes, Equações do 1º grau e problemas.

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Fonte: IME 2ª fase 2023 · Matemática. Prova oficial ↗