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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Física) da 2ª fase do IME 2022

Física · Física: Geradores, receptores e leis de Kirchhoff

Circuito elétrico composto por dois triângulos interligados: o da esquerda possui três ramos em série contendo, cada um, uma chave aberta S, um resistor R e uma bateria de 10 V; o da direita, demarcado por uma linha tracejada, é formado por três resistores R conectados em delta. Fios condutores conectam vértices superiores e inferiores dos dois triângulos.

A figura acima apresenta um circuito composto por três baterias de 10\text{ V}, seis resistores idênticos R e três chaves S.

Ao fechar as três chaves simultaneamente, após 20 segundos, o circuito consome 20\text{ kJ} de energia.

Considerando sempre a topologia do circuito original para cada pedido, determine:

a) o valor da resistência de cada resistor R, em \Omega;

b) a potência dissipada no circuito, em \text{W}, se 01 (uma) das baterias tiver seus terminais curto-circuitados; e

c) a potência dissipada no circuito, em \text{W}, se os três resistores da região tracejada do circuito tiverem seus terminais abertos.

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Resolução comentada

a) Percorrendo a malha das três baterias, as polaridades se somam: em cada lado do triângulo da esquerda o sentido é do - para o + no mesmo sentido de percurso. A fem total na malha é 30\ \text{V}.

Os três vértices da malha ligam-se, um a um, aos três vértices do triângulo de resistores. O circuito tem simetria de rotação, então os três nós têm o mesmo potencial. Logo, não passa corrente no triângulo tracejado. A corrente só circula na malha, com três resistores R em série:

I=\frac{30}{3R}=\frac{10}{R}

A potência dissipada é a energia dividida pelo tempo:

P=\frac{20\,000}{20}=1000\ \text{W}

Por outro lado, P=3RI^2=\dfrac{300}{R}. Igualando, R=0{,}3\ \Omega.

R = 0,3 Ω

b) Curto-circuitar uma bateria elimina a fem daquele ramo, que passa a ter só o resistor R. Agora a simetria se perde e é preciso resolver os nós.

Entre cada par de nós T, L e B há um ramo da malha (fem + R) em paralelo com um resistor R do triângulo tracejado. Adotando V_T=0, V_L=x, V_B=y e medindo tensões em volts e correntes em unidades de 1/R:

  • ramo T\to L (com bateria): i_{TL}=(10-x)+(0-x)=10-2x
  • ramo L\to B (com bateria): i_{LB}=(10+x-y)+(x-y)=10+2x-2y
  • ramo B\to T (em curto, só resistência): i_{BT}=2y

Pela conservação de corrente nos nós, i_{TL}=i_{LB}=i_{BT}. Da igualdade i_{TL}=i_{BT}, vem y=5-x. Substituindo em i_{LB}=i_{BT}, vem 10+2x=4y=20-4x, logo x=\dfrac{5}{3} e y=\dfrac{10}{3}.

As correntes nas duas baterias restantes valem:

  • T\to L: \dfrac{10-x}{R}=\dfrac{25}{3R}
  • L\to B: \dfrac{10+x-y}{R}=\dfrac{25}{3R}

A potência fornecida pelas baterias, que é a dissipada, é:

P=10\cdot\left(\frac{25}{3R}+\frac{25}{3R}\right)=\frac{500}{3R}=\frac{500}{0{,}9}\approx 556\ \text{W}

Conferindo somando RI^2 em todos os resistores, o resultado é o mesmo, \dfrac{500}{3R}.

P = 5000/9 W ≈ 556 W

c) Se os três resistores da região tracejada são abertos, resta só a malha com três baterias e três resistores. Isso é exatamente o que já acontecia no circuito original, porque o triângulo não conduzia corrente. Então:

I=\frac{30}{3\cdot 0{,}3}=\frac{100}{3}\ \text{A}\qquad P=3RI^2=3\cdot0{,}3\cdot\left(\frac{100}{3}\right)^2=1000\ \text{W}

P = 1000 W

Assuntos: Geradores, receptores e leis de Kirchhoff, Associação de resistores, Potência elétrica e efeito Joule.

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Ver como caiu na prova Questão 9 no caderno Física da 2ª fase do IME 2022

Fonte: IME 2ª fase 2022 · Física. Prova oficial ↗